第五章 / 5.2.4
带正弦、余弦的实积分
教材120—121页
5.2.4 · 教材120—121页
19 把 cos 和 sin 打包成指数，再取实部、虚部
设 ， 为实轴上实值的有理函数，无实轴极点，分母次数至少比分子高1。先算
这些有理函数的尾部配合振荡可保证两端相应积分收敛；若次数差只为1，可能是条件收敛，不能声称一定绝对收敛。上半圆用约当引理，得
此时 是余弦积分， 是正弦积分。这里强调 实值，是为了合法地把 原样移出实、虚部运算；若 本身复值，需另行拆分。
不要选 闭上半平面后指望自动衰减，因为 中还含 ，上方会增长。选择 的目的，就是只保留能衰减的那一支。 时不能依赖这个引理，回到有理积分的次数条件。
5.2.4 · 教材120—121页
20 教材例4的推广：二阶极点算出带参数的余弦积分
求 时
选 。上方唯一二阶极点在 ，留数为
因此 为实数，原积分即
全实轴正弦积分为0，既可由虚部为零看出，也可由奇偶性检查。取 就是原书例4；若题目改为 ，偶性使结果再除2。
5.2.4 · 教材120—121页
21 一个简单极点与半轴 x sin(mx) 型积分
先算 的
因为 的留数为 。若分子有 ，则 在 的留数为 ，因此复积分为 。
取虚部并用 的偶性，得
这与原书习题6的第一类直接对应。它的尾部像 ，一般仅条件收敛，但约当引理仍可用。先判函数奇偶性，再决定取全轴的一半，能防止最后丢一个2。