5.2.2 三条引理与围道的选择

数学物理方法 · 5.2.2 三条引理与围道的选择

第五章 / 5.2.2

三条引理与围道的选择

教材115—118页

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若大圆弧 $127$ 的角跨度固定为 $128$ ，曲线上 $129$ ，则

126

所以 $130$ 在相应角域内统一成立，是大弧消失的充分条件。教材引理1就是这个结论。有理函数分母次数至少比分子高2时， $131$ ，乘弧长 $132$ 后趋零。

最简单的反例 $133$ ，但半圆弧积分恒为 $134$ ，不消失；因为它只有 $135$ ，乘弧长后为常数量级。不能把“函数很小”偷换成“它沿长曲线的积分很小”。

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若 $137$ ，沿小圆弧 $138$ 、 $139$ ，则

136

一阶极点时 $140$ 。证明拆成 $141$ 与余项，余项模为 $142$ ，乘弧长 $143$ 后消失。若 $144$ ，整段小弧消失。

图 5-4 从左向右绕过实轴点，小弧的方向决定符号

切换图示

从左到右的上半小弧为顺时针。

上半平面绕开实轴点 沿实轴从左往右，在点 $145$ 上方挖一条小半圆，参数角由 $146$ 降到0，是顺时针，贡献 $147$ 。小弧是在辅助等式左边的哪一项，必须先写出来，最后移项才决定目标积分中出现什么符号。

不要说“曲线上极点算一半” 不是把留数定理中的点机械地算半个，而是先绕开，使定理有合法路径，再精确计算小弧极限。高阶极点的小弧一般还可能发散，这个一阶极点公式不能直接照搬。

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对 $149$ ， $150$ 。上半平面衰减，下半平面增长，所以常把 $151$ 闭合到上方。若上半圆上 $152$ ，约当引理给

148

与普通大弧估计相比，它允许 $153$ ，不必达到 $154$ 。

图 5-5 指数的参数符号决定闭合的半平面

切换图示

实轴从左向右，上弧从右向左；加上半平面留数。

证明主线要看懂端点 取 $155$ ，积分模不超过 $156$ 。用 $157$ （ $158$ ）及对称性，积分上界可压到 $159$ 。即使端点处指数模为1，整个端点小区间仍能被控制。

教材给出半平面下缘为 $160$ 的较宽版本，把低于实轴的一小段圆弧单独估计；第一轮标准上半圆版本足以处理本章多数习题。若 $161$ ，改闭下半平面，方向通常顺时针，留数定理前变成 $162$ 。

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留数法没有一个包打天下的代换。先问目标能否成为 $163$ 、 $164$ 或 $165$ ，再问剩下的路径积分能否消失或换回同一个目标。

解答必须出现的一句等式 不是只写“由留数定理，答案为……”，而是先写 $171$ ，并交代每条辅助段的极限。你的主要得分点通常就在这些条件和符号上。