第一问为一阶极点，留数 。第二问为三阶极点，留数为 。第三问原式在0可去，延拓后 没有负幂，留数为0。不要把分母有 就一律判作极点。

分子在 非零，故为二阶极点。消因子后 ，，代 得 。所以留数为0，但二阶主部并未消失。这也解释全轴奇函数 的收敛积分为0，与留数法一致。

。乘 后，只有原来的 变成 。所以留数 ，闭路积分 。不必写完无穷多个负幂，也不能用有限阶极点的求导公式代替定义。

在1的留数为 ，在3的留数为 。 只包围1，结果 ； 两点都包围，和为0，结果0； 时点1落在路径上，普通闭路积分无定义，不能直接套定理。

代换得 。两根为 、，满足 。内部留数为 ，故答案 。结果为正，且 很大时近似 ，可由原式核验。

上方两根为 、，均为一阶极点，各留数 、。其和为 ，全轴积分为 乘此和，即 。原函数偶，半轴答案 。大弧量级 。

时上半平面的一阶留数为 ，全轴复积分 ，半轴余弦积分为 。 由余弦对参数偶性替换为 ； 由有理积分直接算为 。统一结果为 。不应把负参数仍闭上半平面而不检查增长。

利用 。两项分别由狄利克雷积分与本章的 模板得到 、。答案为 。两项在0都因正弦因子变得可积，尾部也收敛，所以这次拆分合法；不能对一般发散项随便分开积分。

分子展开为 ，所以 ，留数为 。上方挖小半圆，内部无极点，小弧积分趋于 ；大弧所有项都消失，故实轴复辅助积分的主值为 。取虚部，利用 ，得全轴 sinc 三次方积分为 。它是偶函数，半轴答案 。虚部在0可补连续，原目标为普通收敛积分；实部的 才需要主值。

无穷端像 可积；0附近像 ，两侧普通积分分别对数发散，因此普通广义积分不存在。对称删除 ，再作对称无穷截断时，被积函数为奇函数，主值为0。这个0不能写成普通广义积分的值。

0附近 可积，无穷端 可积，故绝对收敛。令 ，积分变成 ，所以 。复方法选上半圆对数分支也可算出同一值。原书例8的分母是平方，结果 ，不能把两个分母混为一谈。

这是 ，，小、大弧均消失。取本节 ，在 的留数为 ；两岸因子 ，故 ，答案为 。也可代 得 核验。

令 ，有 ，所以原积分是 。代入 ，得答案 。如果直接用钥匙孔也可，但需把 都算入留数和，且 的角应取 ；这正是跨半平面时容易混用主值的地方。

内部三重零点在 ，点 在外；内部二阶极点在 。故 。辐角变化为 ，对数导数积分为 。边界上无零、极点，条件满足。若回答零点数3，尚未回答题目所问的净变化。

在单位圆，，而 。所以与 有相同内部零点总重数，为2。这里两个根未必相同，也不位于0；儒歇只保留数目，不保留位置。

小圆上 ，小圆内1根；大圆上 ，大圆内4根。两处都是严格不等式，保证边界无根，故圆环内为 根，按重数计。

在 上 。两项整，故与 有同样的内部零点总重数，为 。不要求求出这些根的显式表达式，也不要求证明它们都是单根。

，故无穷远留数为 。 没有 项，无穷远留数为0。也可用 核验。前者在无穷远是可去点，却仍可有非零的无穷远留数，因为此处留数属于微分 的变换，不能把有限点“可去则留数0”直接搬过来。

令 ，积分为 乘标准菲涅耳积分 ，所以答案 。一般正参数 的结果为 。注意微分带来 ，不是 。

由矩形围道公式，答案为 。不带余弦时为 ，振荡后的有符号积分变小，与指数因子一致。结果为正是这个特定高斯变换的性质，不能推广为“任何正权乘余弦的积分都非负”。