5.1 · 教材108—112页；补充对应习题138—139页
01 留数就是负一次幂系数，与奇点阶数不同
设 是孤立奇点，去心邻域内有罗朗展开
沿该邻域内包围 一周的逆时针小圆积分。第三章已算过： 的整圈积分只有 时不为零，值为 。因此
定义 。记号可以读作“函数 在点 的留数”。它不是 点的函数值，也不是极点阶数，更不等于负幂部分所有系数之和。
图 5-1 整圈积分只留下负一次幂留数=3；闭路正向一周的积分=3 × 2πi。
两个必须对照的例子 有二阶极点，但留数为0； 有本性奇点，却有留数1。前者积分为0，后者整圈积分为 。所以“留数为零”不能推出可去奇点，“本性奇点”也不妨碍使用留数定理。
这段定义必须理解：它把第四章的展开与第三章的积分接上。以后具体计算往往不用真的写出完整罗朗级数，但所用简便公式都在提取同一个 。
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02 留数定理：先列点的位置，再把内部贡献相加
若 是正向简单闭曲线， 在曲线及内部除有限个孤立奇点 外解析，并且曲线上没有奇点，则
正向即逆时针。顺时针一周要整体加负号；曲线绕多圈或有自交时，要用相应绕数加权，不能无条件仍把每个点算一次。第一轮题目通常给简单闭曲线，按此版本即可。
证明的主线与第三章挖洞相同：在各奇点周围挖互不相交的小圆，外边界积分等于这些小圆的逆时针积分之和；每个小圆积分正好是 乘该点留数。无需在整个大区域写一个共同的罗朗展开。
图 5-2 挖掉内部孤立奇点后，把大圈变成小圈之和图中小圈都按各自逆时针书写，因此外圈积分等于它们的积分之和。
每题先写这四行 围道和方向；全部候选奇点；哪些真正留下奇点、哪些在内部；内部各点的留数。最后才相加。若点恰在线上，先停止套公式，判断题目是否另行规定主值或绕行。
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03 一阶极点：消掉一个因子，或用分母导数
若 是一阶极点，
若 ， 在 附近解析，、，则更方便：
理由是 。若 ，该点可能抵消成可去点，公式给0仍可用于解析延拓后的留数，但不要再称它为一阶极点。若 ，此简式不能直接用。
例题 ，在 的留数为 ，在 的留数为 。同一函数不同点要分别代入。指数分母同理： 在每个 都是一阶极点，留数均为1，因为分母导数在那里等于1。
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04 高阶极点：先认准阶数，再决定求导或展开
若 为 阶极点，写
则
因为 的泰勒展开里，第 次项除以 后恰好成为负一次幂。二阶极点求一阶导；三阶极点求二阶导再除2；阶数高时可直接展开到所需项，未必硬求许多次导数。
完整示范 ，令 ，所以留数为 。这与 中取一次项完全一致。
先约掉再判阶 在0处，分子有二阶零点、分母有三阶零点，实际只剩一阶极点。若一眼看见分母三次方就开始求二阶导，会白做许多计算。
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05 教材例1：同一个和式，在不同点只看奇异部分
教材取
在 ，第一项解析，留数为0；第二项留数为 。故 。
在 ，第二项解析，不参与留数。第一项是三阶极点，用分子二阶导：
这里不应把整个和式统一乘 后展开一大堆。解析项在当前点留数为零，可以先删掉。
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06 教材例2：正切有无穷多个极点，但每条有限围道只数内部
的极点为 ，均为一阶极点，其留数
在 内没有极点，所以积分为0。在 （ 为正整数）内，有 ，共 个，曲线上没有极点。因此
这题训练的是“全体奇点可以无穷多，但当前闭路内必须能逐个有限计数”，以及 求导带负号。
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07 本性奇点不必全展开：只追踪能凑成负一次幂的项
教材例3为 。展开 只含奇数负幂，五次方仍只含奇数负幂，乘 后只含偶数幂，根本不可能出现 。故0虽是本性奇点，留数却为0，绕单位圆积分为0。
这个判断也可用奇偶性： 是奇函数，乘奇函数 后为偶函数，罗朗展开只含偶次幂。先看结构，再展开，能省去大量乘法。
教材例4为 。直接只看最低次项：
所以 ，留数为 。单位圆只包围0，不包含其他 ，积分为 。这里 表示被 的常数倍控制，首项已经足以求出留数。
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08 无穷远点的留数：变量变换还有一个微分因子
原书习题2把第四章的无穷远奇点接到留数。定义相对于无穷远点的正向，是平面上一条顺时针大圆，于是
负号来自 、。无穷远留数不是简单求 在0的留数，微分因子不能漏掉。若 在大 区域的罗朗展开含 ，则无穷远留数为 。
若扩充平面上只有有限个有限孤立奇点和一个无穷远孤立奇点，那么全部留数（包括无穷远）之和为0。例：，有限留数1，无穷远留数 ； 在无穷远有极点，但留数为0。留数仍不能直接说明奇点类型。
掌握边界 正文最常考有限点的三种算法：一阶极限、商的分母导数、高阶提取。无穷远公式主要服务原书习题2和绕大圈的快捷计算，第二轮再熟练，但应先知道多出的 为什么存在。