5.2.6 · 教材127—132页，原书带星号

26 多值表达式要先选成单值解析分支

留数定理用于一个确定的单值解析函数，不能把 的全部值直接放进积分。选一个角度区间后定义 ，同时删去相应射线。该开域内 ，而切口上下岸有不同边界值。

本节沿用教材的 ，即沿正实轴割开。正实轴上岸 ，下岸 ；负实轴在域内，。这里说上、下岸，是把实际路径放在开域内、最后贴近切口取极限。

与第二章的主值区分 本书第二章主值角是 ，本节的 是另一个分支，不能因为同样写 就忽略角度约定。对上半平面的点 ，两种分支恰好都给 ，但不能据此说它们在全域相同。

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27 教材例8：对数乘偶有理函数，用上半圆连接正负半轴

求 。选 ，沿上半圆闭合并绕开0。负实轴 上有 ，分母仍为 ，所以两条实轴段合起来，在极限中成为

上方唯一极点为 ，二阶留数

大弧上界量级为 ，小弧量级为 。故

比较实部得到 ，虚部还核对了 。这题不能用 ，那会直接丢掉决定等式正确性的 。

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28 钥匙孔围道：上下岸方向相反，数值也可能不同

对非整数实数 ，选 ，分支为 。从正实轴上岸的 走向 ，沿大圆逆时针绕到下岸，再沿下岸从 回 ，最后绕小圆顺时针回起点。

上岸积分为 。下岸由于 且方向反向，贡献为 。若大、小弧都趋零，便得到

留数和取这个分支域内的全部有限孤立奇点，通常包含上、下半平面两边，不是只取上半平面。原点是分支点，位于挖掉的小圆内，不是把它当普通孤立极点加入留数和。

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29 教材例9：从收敛范围到分支值，一个条件都不能漏

求 。0附近像 ，要求 ；无穷端像 ，要求 。所以普通积分存在范围为 。

取上一个钥匙孔模板，唯一极点在 ，由于本分支 ，留数为 。小弧量级 ，大弧量级 ，范围与原积分收敛恰好吻合。于是

化简使用 。在 内正弦为负，最终答案为正，与原被积函数正值一致，是很好的符号检查。

把 换记，可得常用形式 ，。这不是两个互相矛盾的公式，而是指数参数相差1。

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30 含 log 的钥匙孔为什么有时要平方 log

若整圈钥匙孔用 ，上下岸差为 ，会把目标中的 消掉，只留下不带对数的积分。要提取 ，可改用 ，因为

所以两岸和为 。原书在例9后提示用这个方法再算例8，正是这个原因。

这一星号小节学到什么程度 至少会写分支、上下岸取值、反向符号和大、小弧条件。复杂对数高阶留数可第二轮再练；如果本课程考试覆盖星号内容，就必须能独立重算例8、例9及对应检查题。它有明确的做题用途，不是只为抽象扩充概念。