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16 全实轴有理积分的标准模板

设 ，约去共同因子后实轴没有极点，分母次数至少比分子高2。于是实轴两端绝对收敛。取实线段 加上逆时针上半圆（此处同一个字母 也常用于半径，具体解题可改记半径 ），有

大弧因次数差趋零，故

这里只加上半平面内的点。若闭下方，则曲线顺时针，应写 乘下半平面留数和；结果当然一致，可以选计算更少的一边。

半轴题先看奇偶性 若 偶，则 。若没有偶性，不能直接除2。若实轴有极点，先判断原积分是否存在，不能套这条没有实轴极点的模板。

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17 教材例3：三阶极点也只求一个系数

求

上半平面只有 ，为三阶极点；下方的 不参与当前留数和。消掉三阶因子后

所以

乘 得

大弧上 ，弧长 ，上界 。别因为有理函数次数明显就完全省掉说明，写这个上界很短，也能证明条件确实满足。

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18 普通广义积分与主值：对称截断不自动代表收敛

普通 要求在一个固定点拆开的左右两端分别收敛；若实轴有奇点，两侧也分别要求收敛。柯西主值则规定对称地取极限，例如

在0有奇点时，还要规定删除对称小区间 后的极限。取极限的方式属于定义，必须写清。

例如 ，但普通广义积分不存在。又如 的对称主值为0，而左右无穷端分别对数发散。留数围道自然给出某种对称截断时，要先检查它算的是普通积分还是主值。 上一模板因绝对收敛，所以两者一致；不能在缺少收敛检查时沿用这个结论。