第三章 / 3.5
解析函数与调和函数的关系
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18 调和函数：两个二阶偏导相加为零
实函数 在区域内有连续二阶偏导，且
就叫调和函数。 调和， 不调和，因为后者的拉普拉斯为4。
若 解析，则 都调和。证明从 C-R 出发：、，由混合偏导相等消去。解析函数有任意阶连续导数，保证这些步骤合法。 称为 的共轭调和函数；注意这与复数共轭 是两个概念。
反过来有条件 在单连通域内，调和 能找到全局单值的共轭调和函数；局部总可以。多连通域则可能只能局部找到，例如 在去心平面调和，但对应的角度不可能全域单值连续。
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19 已知实部补虚部：积分后补一个函数
假设给出 。先确认 。C-R 给
对第一式按 积分：。积分常数必须写成 ，因为当前只对 积分。再对 求导，与第二式比较，得 ，故
若再给 ，则 。已知实部后只剩一个纯虚常数；若已知虚部，则只剩一个实常数。
标准步骤 验调和 → 写两条 C-R → 积一条并保留另一个变量的任意函数 → 用另一条确定它 → 用初值定常数 → 必要时整理成 的表达式。不能只做其中一条 C-R 就宣布完成。
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20 教材已知虚部的例题，两个方法对应起来
给 ，要求 。由 C-R：，所以 ；再用 ，得 ，故 。
整理成复数式：
由初值 ，所以 。这是教材例2。
教材还沿折线积分
从原点先水平走到 ，再竖直走到 ，第一段为0，第二段给 。与刚才结果一致。第一轮优先练“积分后补函数”，路径积分法保留，是为了说明共轭函数存在与单连通的联系。
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21 等值线为什么正交，原点为什么可能例外
解析 且 时，等值线 与 在交点正交。因为法向量分别是 ，由 C-R
非零导数条件确保这些梯度非零，等值线在该点有通常的切线。
图 3-4 z²的实部与虚部等值线在非临界点正交这是解析函数z²的两族正交等值线；原点不套用一般正交结论。
对 ，两族线是 与 ，一般交点正交。在原点 ，零等值线各自分叉，不能把那里当成两条光滑曲线直接套正交结论。
这段几何不是额外负担：下一节的等势线和电力线就是这两族等值线。你要掌握正交的条件、会画简单例子，不必徒手画出每一条复杂双曲线的精确形状。