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15 原函数与牛顿—莱布尼茨公式
若 在区域 内成立，就称 是 的一个原函数。有原函数时，任何位于 内、从 到 的分段光滑路径都满足
这时积分路径无关，闭路积分为零。 的原函数是 ，多项式和指数也可直接积分。原函数可以相差一个复常数，区域连通使这个常数是全域统一的。
例题 从0到 积分 ，用原函数 ，结果 。不用为曲线形状纠结，因为原函数全平面有效。
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16 从闭路积分为零造出原函数
固定 ，若 连续且所有闭路积分为零，则连接 到 的积分与路径无关，可定义
为了求 ，只看 到 的一小段直线。将 拆成 ，后一项除以 后仍由连续性与长大不等式控制为趋零，所以 。
逻辑链必须清楚 单连通域内解析，保证闭路积分为零；闭路积分为零加连续，保证存在原函数。事实上第二步的核心是路径无关，不再需要重复依赖单连通。教材把单连通保留在定理陈述中，是方便使用的条件，不能把它误当作每个特定函数有原函数的必要条件。
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17 对数原函数的限制与莫雷拉定理
在割开负实轴的平面有原函数 ，但在整个去心平面没有全局单值原函数，否则绕单位圆积分就应为0，与 矛盾。 则有全局原函数 ，即使区域有洞也不受影响。
莫雷拉定理的主意 若 在区域内连续，而且每个足够小的三角形边界积分均为零，则 解析。用刚才的方法在小圆盘构造原函数 ，有 ；解析函数的导数仍解析，所以 解析。教材以所有闭路积分为零来陈述，条件更强、也方便接上上一段。
为什么讲它？它提供“由积分性质反推解析性”的方向，用于证明极限函数等仍解析。第一轮一般计算题不常直接使用，可先会说出“连续 + 一族闭路积分为零 → 解析”，完整证明结构留在这里供理论题复习。不要误写成“某一条闭路积分为零就解析”。