线段取 ，得 。右半圆上 ，积分就是 。结果不同，说明 没有覆盖这些路径的全域原函数。不要因为端点相同就直接写相等。

正向一阶项为 ，二阶项为0。顺时针结果为 。二阶项虽然有内部奇点，但仍积分为0；不能用“有奇点就一定非零”判断。

外圆逆时针贡献 ，内圆顺时针贡献 ，总和0。只取外圆则为 。 在圆环上解析，满足多连通边界定理；但原点不在圆环里，不能让外圈在允许域内缩成一点。

时，点1在内，结果 。 时，点1在外，被积函数在闭圆盘邻域解析，结果0。 时，分母在路径上为零，普通复曲线积分无定义；若另谈主值或绕行必须额外定义，本题没有这种约定。

分子 整，点1在内，故结果 。若得到 ，通常是漏了阶乘；若求了三阶导，则是把分母次数与求导阶数混淆。

恒等分解为 。当 ，只有0在内，得 。当 ，两点均在内，得 。 时曲线上有奇点，不属于上述两类普通积分。每个拆分后的解析分子都是 ，条件明确。

，圆周长 ，长大不等式给出目标上界，且上界趋零，所以积分趋零。这里不必先精确算积分。估计体现“函数量级 乘路径长度量级 ”后还剩 ，因而消失。

无全局单值原函数，否则整圈积分应为0； 有原函数 。上半圆取 ，得 。也可在覆盖这条路径的合适割线域选择连续对数；不能使用沿负实轴不连续的主值分支，未经端点说明直接套用它。

调和。由 ，得 ；再由 ，得 。故 ，初值给 ，结果 。直接展开可核对实部与初值。

第一问不能，因为 ，不满足解析实部必须调和的必要条件。第二问 在非零处调和，局部可作为对数分支实部；但去心平面上不存在全局单值解析函数拥有这个实部。若存在，由 C-R 其导数必须为 ，而该函数应成为 的全局原函数，与整圈积分 矛盾。

，故力函数 ，电势 。，即向量 ，也等于 。电力线 ，等势线 ；除原点这类场强零点外，两族线正交。

柯西公式给整圈积分 。代入 ，，所以 ，即 。比较实部得答案 ；虚部积分为0。原书第9题取0到 ，利用对称性得到 ，要留意积分区间。