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22 平面场和无源无旋，先用熟悉的分量读

平面向量场写成 ，代表向量 。稳定指不随时间改变；平面场还要求沿垂直该平面的方向分布不变。无限长均匀带电直线的横截面是平面场；空间单个点电荷的完整三维场不属于这种模型。

散度 描述局部源汇，旋度的垂直分量 描述局部旋转。无源无旋即

于是 是解析函数，因为它的 C-R 恰好就是这两个方程；一般不是 本身解析。

对逆时针曲线，

实部是环量，虚部是向外通量。这个式子由直接相乘得到，比分别死记正负号可靠。格林公式进一步把二者变成区域内旋度、散度的面积分。

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23 从解析原函数到场：注意本书复势的定义

若区域单连通、场无源无旋，可取解析函数 ，使

因此 的等值线与场方向垂直， 的等值线沿场方向。对静电场，通常的电势为 ，使 。

严镇军本书的静电复势约定 为

由此

所以 的等值线是电力线， 的等值线是等势线。一些教材把 叫复势，符号位置不同；本讲义按这本书来。复势不是场强，求场强还要先求导、再共轭、乘 。

这里保留完整转换，是为了做原书习题22时不混淆实虚部。流体力学也用类似结构，但势函数和流函数的命名、符号应依具体定义核对，不能把静电的符号直接搬过去。

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24 平面点电荷：圆周等势，射线沿场

本书采用的电磁单位约定下，原点处的“平面点电荷” 代表垂直纸面的无限长线电荷横截面，场为

常数 与单位制有关；学习重点是 的方向与距离关系，使用其他单位制时应调整物理常数。

按上一单元公式可取

在一个对数分支上，。所以电力线 是射线；等势线 是同心圆。 时场向外， 时场向内。

对数多值不妨碍导数与场强单值。绕原点一周后，复势的实部变常数，但场强仍回到原值。原点处有源，故不能把包含原点的整个区域说成无源，也不能忽视多连通造成的全局原函数问题。

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25 两个异号电荷与最简单的匀强场

在 分别放 ，叠加得

局部写成对数比后，等势线为 ，这正是第一章的距离比轨迹： 为圆， 为垂直平分线。电力线为两向量夹角恒定的圆弧族，其几何圆通过 ，实际曲线不含电荷点；退化情况可能为直线的一部分。画图时不应把整个圆一律当成同一辐角分支的单条曲线。

原书习题22的最小示范 若 、，则 ，场强为 ，即竖直向下的匀强场。电力线 ，等势线 。若 ，则 ，场强 。这一步可反查 ，符号一致。

为什么这节值得保留 它把“解析函数、调和、正交”连成可算的物理模型，并解释前两章的圆与辐角曲线为何会出现。若当前考试只考复积分，可先学会定义与转换框，复杂电荷分布放第二轮；但本书这一节正文和习题涉及的基本计算仍在讲义中完整保留。