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10 从积分为零，前进一步到提取函数值
若 在正向简单闭曲线 及其内部解析， 位于内部，则
实际计算常用反写：
分母中的 必须在内部，且分子 要在整片内部解析。如果 在外部且整个被积函数解析，积分为零；如果 正在路径上，普通曲线积分通常无定义，不能把结果想成内外的一半。
图 3-3 柯西公式先判断分母点在内、在外还是线上使用柯西积分公式。
完整例题 逆时针，求 。分子 整，点1在内部，故结果 。若半径改为 ，点1在外部，结果0；改为1则奇点落在路径上，不能套用。
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11 柯西公式的证明主线与平均值
在 周围挖一个半径 的小圆。大曲线积分等于小圆积分。把小圆上的分子拆成 ：常数部分积分为 ；误差部分由连续性与长大不等式控制，模不超过 ，所以趋零。
这段证明连接了本章所有基础：挖洞变形、基础圆周积分、连续性和长大不等式。你需要知道为什么误差里分母 不导致爆炸：圆周长也含 ，两者抵消。
若取圆周 ，公式变为
解析函数在圆心的值等于圆周平均值。取实部或虚部，得到相应调和函数的平均值性质。它可证明某些边界值不可能由解析函数产生，也能把实三角积分转成复积分。
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12 高阶公式：分母次数减一是求导阶数
同样条件下， 具有任意阶导数，而且
计算时反写为
最常见失误 把三次分母配成三阶导；实际上 配二阶导，还要除以 。
例如 ，
对多项式也一样：若导数阶数超过多项式次数，就直接为零。高次分母不自动意味着非零结果。
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13 多个分母点：先判内外，再拆分或挖小圈
若 ，不能不看 就把 当成整片内部的解析分子。教材例1取 ，：到0的距离3，故0在外；到 的距离2，到 的距离1，故后二者在内。
于是
这题最关键的一行是三个距离，不是最后的指数化简。
两个内部点都在时怎么办 以 为例， 时先部分分式
分别判断两点是否在曲线内，再用基本公式。更一般时，可挖出每个缺点的小圈，各算一个局部积分再相加，这仍是本章的柯西方法，不必提前依赖第五章留数公式。
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14 为什么解析就有无限阶导数；只给实部也有用
从柯西公式对 作差商，差商的核趋向 。因为内部点离边界有正距离 ，分母可统一远离零，长大不等式保证极限可交换进积分。反复进行就得到高阶公式。重点在“正距离带来统一估计”，而不是形式上无条件把导数搬进积分号。
教材还给出圆周实部决定中心导数的式子：
主线是先把一阶柯西公式参数化，再把 的共轭形式相加，虚部项消去，留下实部。它用于从边界实部恢复导数，也是后续边值问题的入口。第一轮普通积分题优先熟练前两条框中公式；这条公式知道用途、能跟住推导即可，不必优先背。
另一个有用后果是柯西估计：在半径 圆周上若 ，则 。它把长大不等式接到高阶公式上，第四章估计级数系数时会再用到。