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01 复积分加的是有向小位移
把曲线 切成小段，在每段上取点 ，加总 ，分段越来越细，极限就是 。与第一类曲线积分 的区别在于： 带复方向， 只带正长度。
若 、，相乘得到
你无需死记四项的排列；每次把 展开即可。函数沿分段光滑曲线连续，就足以保证这个积分存在，不要求解析。非解析只会影响后面能否用更快的定理。
把黎曼和定义写在这里，是为了说明方向、线性和估计式从哪里来。第一轮做题应能解释这个意思，不必把每一个极限细节都重证一遍。
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02 最通用算法：参数化后记得乘上导数
若 、，则
这是可以处理共轭、模、分段函数的稳妥算法。常见曲线：线段 ；圆弧 。圆弧的 ，不能漏掉 、 或指数。
例题 沿单位圆逆时针计算 。取 、、，所以
曲线闭合不代表积分为零； 在第二章已证明处处不解析。
线性与拼接 积分对函数线性，对按顺序连接的曲线可逐段相加，反向曲线 的积分变号。这些性质使复杂边界可以拆成几条线段和圆弧。
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03 教材半圆环例题：四段分别代入
教材取上半圆环 的正向边界，求 。它由外半圆、左线段、内半圆、右线段依次组成。
图 3-1 半圆环的正向边界：区域始终在左侧四段方向按连续行走的起点、终点确定，内圆方向与外圆相反。
外圆 、，被积式乘 为 ，积分为 。左线段从 到 ，，积分为1。内圆必须顺时针，、，积分为 。右线段从1到2，积分为1。因此
这题没有用到柯西定理。真正要练的是把“区域正向”落实为每一段的起终点，尤其内圆不能和外圆取同一个方向。
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04 一个必须记住的基础圆周积分
对逆时针圆周 ，整数 满足
推导只有一次参数化：，积分变成 。当 ，指数恒为1；其余整数给完整周期，积分抵消。
这里的零不能乱解释 时函数在内部不解析，但积分仍为零；因此“积分为零”不能反推“内部没有奇点”。 的 则是柯西积分公式和第四章罗朗系数提取的根基。
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05 长大不等式：最大模乘路径长度
若曲线长为 ，且曲线上 ，则
“长大”就是长度与最大值相乘。用黎曼和的三角不等式即可得到。它估计的是积分的模，不是直接比较一个复数与实数大小。
例题 在 上估计 。由 ，得 ；长度为 ，故积分模不超过 。实际积分可能更小，甚至为零；上界不要求精确达到。
统一的三步 明确曲线长度；给分母下界、分子上界；相乘。大圆弧消失需要 ，仅有 不够。例如长度与 同阶时， 只能保证有界。
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06 小圆弧极限：半圈为什么常出现半个系数
设 ，沿 、，当 ，则
证明先拆为 与余项。前者精确积分为 ；后者在小圆弧上模不超过 ，乘长度 后趋零。这是教材例3的逻辑。
掌握边界 要会判断角度跨度和方向。逆时针半圆给 ，顺时针半圆给 。第一轮不用背证明中的每个 ，但必须知道这是有条件的小弧极限，不是把路径上奇点的积分直接赋一个“半值”。