代入，得，故、。左右分别只依赖时间和空间，在乘积区域恒等因而为常数。选负号使常见边界的正特征值对应三角空间函数及热衰减，符号约定本身不代替谱的求解。

时线性函数两端零，只得零解；时双曲函数也只剩零解；时，要求且。故。的正弦是零函数，不能列入。

负值和零值均只给零解。正值时，，所以、。特征值，特征函数。区间右端不是零位移，不能用。

。位移给；速度给。因此。对最后一项求导数并令零，得到，检查通过。

，偶数为零、奇数为。故。它的中点高度是，不能把顶点高度的系数误抄过来。

，节点，内部两个节点。，普通频率。若长度和速度分别以米、米每秒计，普通频率单位为Hz。

，因为特征值分别为1、16，衰减率为。若写，就误用了二阶时间波动方程。长期趋零。

。常数对应，不衰减。长期趋2，且不变。

只激发空间常数模态。其时间方程，由初值得。不能把零频率强代进而留下未定义的分式；也可用其极限，但应说明。

。在恢复边界，各项调和；中心值1，是边界平均值。不能把直接乘4而不除半径平方。

径向方程，所以。由得，由得，故。原点不在区域内，不能因对数在原点发散而删掉它。

角向允许，故给定边界是和两个模态。对应径向正幂，所以。原点有界、两条直边零、外弧恢复数据。

令，得到。所以，权。，投影。这已经是一项展开，漏权将破坏正交筛选。

令，区间长度为2，方程。故、。。别把原书的频率直接照搬。

，。首根位于，约。。。零值时，左端给、右端给，所以零不是特征值。

对应常数；、对应两个独立函数。不同特征值由自伴恒等式保证正交；同一特征值的正交不能仅从那一步推出。这一对可直接积分验证正交，也可在重特征空间内选正交基。

只需，、。积分得，所以。代回：，初值零。

方程，积分因子给，故，。一般指数差商在参数相等时的极限正是这个式子，原问题并无奇异。

，，共振频率。零初值解，因此。检查；若写成除以的分式，就是未处理共振。

稳态满足。令，则、两端零、。故

长期趋。稳态虽不满足初值，余项正是用来补齐初值的。

边界、源、两条初值都要处理。若，新源为，初速减，符号与正文一致。

取稳态，余项初温，所以。长期趋。原初温已经在两端匹配，角点没有值的冲突。

取，有。余项边界为，故，总解。边界为，其中二阶角模态调和。

通解。由得，内边界给。故。验算、、。

横向，。因此

横向拉普拉斯给，二阶导给，合为零。和四侧为零，顶面恢复给定值。

特征值，角频率，故。两个方向的波数先平方相加再开方，不是。

特征根，所以。，，得。答案。多出的衰减因子求导会贡献，因此初速度对应的正弦系数必须修正。

令，方程化为。有界性给，外边界。所以、，原点以极限定义，而非零。自伴形式的权为，模平方。奇异的是表达式的表面形式，允许分支在原点的极限有限。