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40 先消去源，再解拉普拉斯边值问题

设、边界算子。先找任意特解使，再令，则

多项式源常可待定系数：在二维可取；可取，因为。

特解不唯一，差一个调和函数仍可；只要新边界正确，总解相同。对于非零法向导数，是导数，不能误写成本身。

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41 原书圆环例题：边界变换的每一步都写出来

原题为，

外圆外法向是，所以此处。取、，得

边界只含常数和二阶余弦，因此无需写所有角频率。设

零阶给、，所以。二阶给

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42 解出两个系数，并用边界反查

解上一组方程，记，有

故

验算三件事：①调和，源只来自；②括号在为零；③径向导数在为零。三个检查比重新读整段推导更能发现符号错误。

本题把原书2.2的圆环通解与2.4的齐次化接到一起。第一轮必须理解“特解改了边界”；两个系数的繁琐代数可按联立方程现场算，不必背最终分式。