数学物理方程篇·第二章 / 2.7
齐次边界下的非齐次方程
教材259—263页
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31 有源项也要展开到同一组空间函数
固定端受迫波动，令
代入并利用投影，得到独立的受迫振子
空间部分不变；非齐次项改变的是时间方程。把直接当成一个常数塞进最终级数，会忽略其空间分布如何激发不同模态。
图 P2-14 外力先按空间投影，每个模态各解一个受迫振子此图针对线性、齐次边界问题；非零边界应先提升，再把新的源投影。
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32 每个模态用卷积解决，和前面拉普拉斯变换接上
对，由常微分方程或拉普拉斯变换得
最后一项就是零初值受迫响应。第七章的反演成，卷积定理在这里直接派上用场；不必每个模态都重新做部分分式。
热方程、齐次D边界对应
若空间零模态存在，波动核改成，热核改成，仍从相应常微分方程推出。
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33 原书热源例题：两个指数相等时必须取极限
原书例2：，两端零，初温零。因为
有。记，则
最后乘求和。教材为书写方便排除了相等情形；相等不是无解，而是积分给。遇到分母为零，先回到卷积或取极限，别直接宣布公式失效就无解。
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34 外力频率碰到固有频率：共振怎样进入答案
若一个零初值模态满足，则
时，应改为，振幅随时间线性增大。它依然是线性方程的解，不代表可以把小振幅物理假设无限期使用。
图 P2-15 驱动频率等于固有频率时，振幅出现随时间增长的包络分母ω²-Ω²为零时，回到时间方程求共振响应；无阻尼模型中振幅可持续增长。
本节是对教材非齐次模态法的必要补充：教材有时预先声明频率不相等，实际做题要自己检查这个限制。第一轮至少会识别共振并回到时间方程，不能保留零分母。
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35 时间无关的源：先求稳态特解往往更快
对或，且两端齐次，可以先求满足相同边界的静态解：热问题，波动问题。令后，的方程和边界齐次，初位移或初温改为原数据减。
例如，两端零，热稳态。初温为零时；不是零。长期。
齐次边界很关键：如果只是方程特解，却不满足边界，则还要同步改边界。选择特解是为简化整体定解问题，不能只盯着方程一项。