2.3 圆域中的拉普拉斯方程

数学物理方法 · 2.3 圆域中的拉普拉斯方程

数学物理方程篇·第二章 / 2.3

圆域中的拉普拉斯方程

教材242—245页

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在二维极坐标，

100

设 $103$ ，乘 $104$ 得

101

102

完整圆周要求 $105$ 及导数周期匹配。允许 $106$ ， $107$ 。 $108$ 给常数， $109$ 给 $110$ 。角向同一个特征值有两个独立函数，这是周期边界下可能出现重特征值的具体例子。

图 P2-7 角向周期条件只允许整数圈频率

切换图示

图左用极径起伏表示角函数，不是温度等值线；图右为角函数值随θ的变化。

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$112$ 时试 $113$ ，得到 $114$ ，所以 $115$ 。 $116$ 时由 $117$ 得 $118$ 。

因而环域中的展开应写成

111

余弦与正弦的径向系数要独立；不能误用同一组 $119$ 去限制一般解。

图 P2-8 圆内要排除原点奇异项，圆环保留正负幂

不要把圆内的删项规则套到圆环；也不要把圆外有界与圆外趋零混为一谈。

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要求 $128$ 、 $129$ 、 $130$ 且原点有界。先展开

125

126

其中 $131$ 也用上式余弦公式取 $132$ 。那么

127

例如边界 $133$ ，解为 $134$ 。越靠中心，高角频率衰减越快；中心值是边界平均值。

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令 $137$ 。利用几何级数可以求和：

135

把傅里叶系数代回上节解式，合并余弦差角，得到

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核在 $138$ 时为正，总积分为 $139$ 。所以圆内温度是边界温度的加权平均； $140$ 时权重均匀，靠近边界时集中到附近角度。本章的泊松积分公式解拉普拉斯方程，不要和非齐次的泊松方程混为一谈。

图 P2-9 越接近边界，泊松核的权重越集中于附近角度

切换图示

中心的权重均匀；此时u(0)就是边界平均值。

做题时边界只有几个三角项就直接写有限和；边界复杂、要研究平均和极限时才用积分式。第一轮理解核从级数求和而来即可，复杂积分不必强行算闭式。

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圆环常数边界 $143$ 、 $144$ 只含角向零模态，所以

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圆环非恒定边界，则每个 $145$ 分别解正负幂系数的二元方程。不要套圆内公式删掉负幂。

扇形 $146$ 、两直边 $147$ 时，角向问题改成 $148$ ，得到 $149$ 及径向幂 $150$ 。圆弧 $151$ 给 $152$ ，则

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这一节直接服务原书习题4、5(6)(7)、8。直边的条件替代整圆周期条件，所以角频率不必是整数。