数学物理方程篇·第二章 / 2.10
原书全部习题的路线与关键结果
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43 习题1—2：空间特征值问题
题1(1) ：余弦半整数谱，、。题1(2) ：用求正根。题1(3) 左、右，：
这条方程只在使用；需单独代回，不能把消分母后出现的零当特征根。
题2(1) 就是2.4节的漂移例题：、、权。题2(2) 三维径向：令，有，有界性对应，给，，原点取极限；权。题2(3) 、两端：分部积分两次得，所以、。这里的负号尤其容易被“特征值总非负”的错误记忆覆盖。
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44 习题3—4：弦初形与圆内有限角频率
题3 抛物线初形、零初速，已在2.2完整求解。检查偶数系数为零，奇数系数。
题4 圆狄利克雷问题，边界各小题对应：
| 原书小题 |
圆内解 |
| (1) 常数 |
|
| (2) |
|
| (3) |
，因为调和 |
| (4) |
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| (5) |
|
先做三角恒等变形，把边界拆为角频率；不要把直接替换成后任意猜一个非调和函数。
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45 习题5：七种边界与方程变化分别动哪一步
(1) 左D右N波动，。取、。初速系数，答案为，。
(2) 两端零热传导，初温：系数，时间因子。
(3) 阻尼弦，原书保证全部欠阻尼。空间仍为整数正弦；，
初速度里会多出，不能仅给无阻尼答案乘。
(4) 一端N、一端正Robin的波动：空间谱用2.6的根，时间改为；系数分母仍是。
(5) 圆内，原书。若，则
题设确保分母不零。特别时，。
(6) 圆环常数边界：。(7) 扇形：用2.3节角正弦和公式。
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46 习题6—9：守恒奇异端点与高阶方程
题6 长绝热杆初温为中心宽、高的矩形，总积分为1。解为
这里用了原来长度的偶数余弦模态，奇数模态系数零。长期趋。时每项系数趋；对形成集中初热量的平滑解，不能说初温函数一致趋于一个有限普通函数。
题7(1) 球内径向热传导：令，则，，初值，最后除以并在原点取极限。题7(2) 梁振动、两端：空间，角频率，并非；初位移的系数同题5(2)。
题8 半圆板，直径零温、圆弧：角向正弦，只有奇数模态，系数，乘。
题9 ，要求时解趋零。分离后可取，。此题没有给完整定解条件，只求满足衰减条件的乘积解；不应虚构一组有限区间离散谱。
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47 习题10：非齐次问题先画出提升后的数据
(1) 左端恒温、右端绝热：稳态，余项左D右N，初温，用半整数正弦。
(2) 左端零温、右端，初温常数：稳态，余项左D右N，初温。长期趋；正负来自题设导数，不能临时把解释成另一个方向。
(3) 题中方程为，即。可取两端为零的稳态
余项初温为，按整数正弦衰减。注意源的因子，不能漏。
(4) 外力的固定端弦：
(5) ，左位移零、右斜率，初形、初速零：取满足稳态和边界；余项左D右N、初形。
(6) 圆内、圆周常数（将原书两个常数改记以免与半径混淆）：
因为，而调和。
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48 习题11—12：圆环零模态与矩形双重展开
题11 、、边界常数数据，先取，余项只需。所以通解。两端给温度时联立两个值；外圆给时，用，再由内圆温度定。
题12(1) 矩形泊松问题四边非零：先取关于线性的提升，先消去左右边界；余项源变为，上下边界也减。可以再提升上下边界（需角点相容），或将余项分成有源零边界和两条单边非零的调和问题，分别展开。原书提示的“”中可以依赖，不能误当两常数来拟合任意。
题12(2) 矩形膜，初形、初速零。双正弦系数
时间因子。题12(3) 矩形热传导初温任意：同一空间基，用；投影系数见2.6。