数学物理方程篇·第二章 / 2.6
换热杆与长方体中的应用
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26 一端绝热一端换热：根由超越方程决定
原书例3：，、，，。这里已经包含导热系数的归一化，单位是长度的倒数。
空间解，绝热端给，右端给
对，无零模态；第个正根，。用连续行列式检查，比随意除以更稳妥。此例确实不允许，才可用正切形式。
图 P2-11 换热边界的频率由z·tan z与hl的交点确定当前hl=0.3，首根在(0,π/2)，下一根在(π,3π/2)。每一根都在正切的极点左侧。
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27 Robin系数的模平方要算，长期由最小根控制
令，特征函数。模平方
最后一步用了。解为
对足够好的初值，所有温度模态衰减，长期趋零；最小根决定最慢衰减。时出现接近零的根，恢复两端绝热的平均温度模态；时根趋向，趋近右端固定零温度的混合边界谱。不能把有限的特征函数直接换成整数余弦。
图 P2-12 热方程高频衰减更快，绝热平均值保持当前高频系数=0.6000，低频系数=1.0000，总热量保持为2π。
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28 绝热杆：热量不丢失，常数模态不会衰减
对，，初温，解为
积分方程也可直接看出。长期趋于初温平均值，不是零。若只背而忘记，就会得到与守恒矛盾的结论。
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29 三维长方体电势：分离后出现双重级数
原书例4：于，除顶面外五面零电势，顶面。设，横向两组固定零边界给
，底面，用归一化因子最省事。因此
这里是空间，不是时间，故双曲正弦没有热衰减的含义。顶面边缘若和其余面数据不相容，需注意棱边处的连续性。
图 P2-13 两个横向正弦相乘，第三方向用双曲正弦匹配顶面顶面网格只表示双变量边界数据；每个横向模态各有一个归一化的竖向因子。
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30 矩形膜和二维热方程：只更换时间方程
矩形四边固定零，空间函数同样是正弦乘积，特征值。
波动问题每项时间因子为；热问题每项为。系数投影都用的双积分。
一个空间谱可以服务不同物理方程，时间行为由原来的时间导数决定。 这一步直接覆盖原书习题12(2)(3)，无需从头背两套互不相关的公式。