数学物理方程篇·第二章 / 2.2
用初始数据确定有限弦的运动
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06 时间方程给频率，初值给振幅
对固定端第个模态，令、。时间方程为，因此
代入：。求一次时间导数再令：。所以
初速度系数必须除以。 你也可以记，把时间因子写成，这样更不容易漏。
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07 系数公式就是正交投影，把积分算出来看
正弦在上满足
例如，两边乘再积分，其余项消失，只剩，于是得到系数。正交性让无穷多个未知系数彼此分开。
这和向量在互相垂直的坐标轴上投影是同一思路。后面有权时，积分改成；如果特征函数没归一化，分母要保留模平方。不能把每一道题的系数都写成。
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08 完整小例题：初位移和初速度各激发什么
设、。根本不必做积分：它们已经是特征函数展开。初位移只激发第一模态，初速度只激发第二模态，
检查：第一项初速度为零；第二项在位移为零，时间导数系数是；两项在端点都为零。这样查一遍，比盯着整条级数看更有效。
图 P2-4 模态的节点固定，高阶模态有更多内部节点空间形状sin(1πx/l)，角频率为1πa/l；端点节点不计入内部节点数。
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09 抛物线初形状：把教材习题3完整走通
弦端固定，初速度零，初形状顶点为，故。分部积分两次可得
因此
中点对称使偶数模态系数为零。衰减意味着少数低频就能较好近似形状，但精确初值仍由无穷级数表达。
图 P2-5 抛物线初形状由奇数正弦模态逐步拼成当前保留n=1。偶数模态因对称性没有被激发。
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10 驻波与行波怎样联系，哪些物理量要会算
单个固定端模态是驻波：的节点位置固定，时间因子只改变幅度与符号。内部有个节点，允许波长为，角频率，普通频率为
时，基频。别把角频率和赫兹频率混用。恒等式说明驻波也可看成两个反向行波的叠加。
图 P2-6 驻波只改变幅度和符号，节点不移动当前cos(ωt)=1.00；节点始终固定。
相位表达中，相位需兼顾象限，可用。第一轮会算频率、节点、两个初始系数即可，不必把相位公式当主线背诵。
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11 形式级数何时真是解，端点不相容怎么办
每一项满足方程，不自动保证无穷和可以逐项求两次导数。教材给出足够光滑、并与固定端相容的一组条件来保证经典解；实际做题应区分：先构造级数，再根据数据光滑性说明收敛及求导是否合法。
本章大部分练习，写出特征展开并验证条件是主要训练。对于分段光滑初值，初始级数在内部连续点恢复函数，在跳跃处一般恢复左右极限平均；不能声称处处一致收敛、每处都满足经典导数。
如果而右端要求固定，则光滑解在角点不能同时满足和该初速度。仍可在适当较弱意义下讨论内部级数解，但要指出角点问题。讲这里是为了防止“公式算出了，所以一定处处光滑”的误判；第一轮不要求证明泛函分析结论。