7.2 · 教材172—176页

06 线性关系与四个三角双曲函数

由积分的线性，

逆变换也线性。利用欧拉公式把拆为指数，马上得到

取实数时，两式的收敛域为。双曲函数由实指数的和差得到

原书用表示。分母对应正弦余弦，对应双曲函数；分子也要配对，不能少掉。

例如的逆变换是，不是。这是最常见的查表丢系数。

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07 相似定理：压缩时间要付出一个比例

若，令，则

对应的另一种写法是

两个式子是同一换元，别把其中的挪错。限制是因为单边积分和因果方向不允许随便反转时间。

例如、：。把一个熟悉指数代进去，是检验缩放方向的最快办法。

若原收敛域是，新函数的收敛域变为。像平面缩放和时间缩放是反向关系。

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08 位移定理：时间上乘指数，像平面移动自变量

直接合并指数：

所以

若原收敛域是，新域为。极点也沿的方向移动。不要把误写成；取检查就能纠错。

这与后面的“延迟定理”不同：此处时间函数没有向右推迟启动，而是每个时刻乘一个指数。二者都会被有些教材称为第一、第二位移定理，做题时直接辨认动作最稳妥。

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09 像函数微分：对$p$求导，对应时间上乘$t$

在收敛右半平面内部，可以对求导：

因此

负号来自。这一步的导数变量是，不是。

教材中的两个直接应用为

如果出现，可以先把基本变换位移，再对求两次导；或者先求两次导，再把换为。这两种次序在这里相容。

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10 原书例1：$t^2\cos^2t$为什么先降幂

先用，把乘积变成线性和，再利用上一条：

算两次导数并合并，得到

方法比最后的长分式重要： 看到三角函数平方，先降幂；看到外面的，再对像函数求导。不要求背这个结果，应该能按路线重新算出。

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11 两种微分放在一起记，避免串公式

一个是把带进积分，另一个是分部积分。记忆时说出操作及变量，别只背“微分变乘法”这句话。