第七章 / 7.6
反演公式留数与有理函数
教材184—190页
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26 竖直反演积分：从下往上，在线右侧选实部
沿取，把7.1的加权傅里叶关系反演，便得到
选在收敛半平面内；对本章有理像函数，可以取在全部极点右侧。路径从下往上，且，这就是系数的来源。
教材在连续点陈述公式；跳跃处在常见的分段光滑条件下得到左右极限的平均值。普通拉氏变换不区分只在有限个点上不同的函数，因此逆变换应按分段连续代表理解。
做题需要会用并解释路径，不必每题重写这条无穷积分。 绝大多数本章计算题更适合查表、部分分式或留数。
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27 为什么$t>0$时往左闭合
核的模为。当，左侧衰减，故把向上的竖线从顶部沿左侧回到底部，得到逆时针闭路。
在辅助弧积分消失的条件下，
对严格真有理函数，即分子次数小于分母次数、有限个极点，可用这种留数反演。求留数的对象是，不是单独的。 后者会把所有时间信息丢掉。
对于带的式子，核变成，应先用延迟定理；在时不能不加判断地仍往左闭合。一般非有理函数还可能有分支切口，需要额外的切口积分，不能只数极点。
图 7-11 反演线向上走；t>0时在左边闭合竖线向上，左弧从上回到底部，整体逆时针，留数求和取正号。
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28 简单极点、重极点与共轭成对
若，为的简单零点且未被分子约去，
若为阶极点，写，其中解析，则
这里阶乘系数与整个导数相乘。重极点通常产生乘一个的多项式；最基本的一对是。
若为实系数，多项式的非实根共轭出现。对实，两个对应的简单极点贡献互为共轭，合为一个贡献的，这样结果自然是实函数。
图 7-12 极点的实部、虚部与重数，分别决定增长、频率与多项式因子极点位置和阶数给出本函数形状的线索；具体系数还需查表、部分分式或留数计算。
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29 原书反演例1：留数法与部分分式给同一答案
给定
极点为。在处贡献；在处，
共轭成对取两倍实部，得到
部分分式更容易手算：
逐项查表便得到同一结果。作为因果函数，其收敛域为；两个阻尼振荡项不会抵消带来的增长。
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30 原书反演例2：三阶极点要对整个乘积求导
给定
为简单极点，贡献。在处令
得到。三阶极点留数为
故
核对原书该页中间式时，三阶极点的系数应为；若扫描排版看成，应按留数公式改正。结果可以再变换回去检查，不能靠中间字形决定系数。
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31 原书反演例3：两个二次因子与参数重合
对，
所以
关键是先把乘积化成两项的差，而不是强行展开四个复极点。参数重合时回到重极点式：
若，按极限理解，不能只把分母0代进去。第一轮先练非退化参数，再补这些极限情形。
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32 原书反演例4：方程组先相加相减
原方程组为，初值。变换后
相加与相减：
因此令，有。分解
所以
初值分别为2、4；正是相减后得到的独立衰减模式。不要看到方程组就急着逐个复杂消元，对称结构先相加相减会明显简化。
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33 原书反演例5：延迟先拆出来，双曲函数别认错
求
先令，因为。故
时只有第一项；时减去延迟后的同一波形。此处不是，因为分母是减号。原书本例先查表的中间行与最后的形式要按这个对应关系核对。
延迟不等于“到4以后令整个解为0”；这里是减去一份延迟响应。只有本函数等特殊形状才会在第二个开关后完全抵消。