5.13 · 教材带星号§5.4.3，第365—370页

46 影响区域和依赖区域是两个观察方向

影响区域： 固定一个源点，问它在时刻 能影响哪些观察点。依赖区域： 固定一个观察点和时刻，问它依赖哪些初始点。对平移不变的自由波，二者使用同一距离条件，但看图的中心不同。

一维、二维的速度核分别支撑在区间 和圆盘 ；三维速度核支撑在球面 。三者都有有限传播速度 ，因为核在 为0。有限传播不等于只有波前有响应。

5.13 · 教材带星号§5.4.3，第365—370页

47 三维紧支集信号何时开始、何时结束

假设初位移和初速度都集中在有界区域 ，且没有外力、边界反射。固定观察点 ，令到 的最近、最远距离为 。

当 ，依赖球面还没碰到支集，响应为0；当 ，球面已完全越过支集，响应重新为0。中间时段有可能有响应，但也可能由于数据抵消而为0，不能把“可能非零”说成“必非零”。

这就是三维自由波的强惠更斯性质：点源响应在波前，紧支集信号经过后没有持续的内部尾部。这里说的是标准常系数、全空间、无外力的三维波方程；加边界、阻尼、势项后不能原封不动推广。

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48 二维为何有尾巴，一维又要看哪种初值

二维依赖域是整个圆盘。圆盘覆盖了初值支集以后，仍然包含它，所以一般继续有衰减响应；有明确前沿，却一般没有明确结束时刻。这叫后效。并不是说每一组特殊初值都必定产生非零尾巴。

一维达朗贝尔公式中，初位移项只取两个端点，紧支集初位移会分成左右移动的波；初速度项则在整个区间积分。例如紧支集初速度的总积分非零，固定观察点在区间完全包住支集后会留下常数位移。这说明一维也不能笼统套三维“波后恢复零”的结论。

为什么这部分要学： 能不算积分就判断“还没到”“已经过去”“可能有尾巴”，直接解决传播时间和影响域题。教材虽标星，图像和结论仍值得第一轮掌握；完整几何证明可第二轮再看。