5.12 降维法与二维波动｜数学物理方法

数学物理方法 · 5.12 降维法与二维波动

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数学物理方程篇·第五章 / 5.12

降维法与二维波动

教材§5.4.2，第362—365页

5.12 · 教材§5.4.2，第362—365页

若三维初值与 $529$ 无关，则解也可取与 $530$ 无关，满足二维波动方程。但三维球面投影到二维平面时，球面的上、下两半都投到一个圆盘上，且面积元发生变化。

球半径 $531$ ，投影半径 $532$ ，一半球面的面积元为

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两半球面提供因子2。把它带进三维速度项，就得二维核

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两个关键点： 积分域是圆盘，不是圆周；边缘有可积奇异性，不是一个有限的边缘值。分母的根号来自投影面积元，因此不能凭外形把三维球壳直接降成二维圆环。

图 P5-21 两个半球面投到圆盘，边缘产生根号权重

二维根号核的几何来源是球面投影面积元，且两半球贡献相等。

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令 $536$ ，则

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求时间导数时，积分区域也在动，边缘核又奇异，不能直接把一个普通端点值代入变限求导公式。安全做法是先积分，或令 $537$ ，把区域固定成单位圆盘，再求导。

例如二维速度为常数1，极坐标积分给

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所以零初位移时 $538$ 。它同时验证了二维核的总积分为 $539$ 。

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初速度0，初位移在单位圆盘内为1、外为0。只求中心 $542$ ，对 $543$ ，先算位移核的积分再求导：

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当 $544$ ，积分为 $545$ ，故 $546$ 。当 $547$ ，积分为 $548$ ，故

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后一个量为负，且 $549$ 时趋于0。波动方程不保非负，所以这不是符号错误。 $550$ 附近的奇异来自初值在圆周上的跳跃，不能声称此处是普通光滑解；平滑初值会改变这个尖锐行为。

本例要学的： 分段由圆盘与初值支集的交叠关系决定；先求积分再求时间导数。无需背这个特定单位圆盘的答案。

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用极坐标验证 $554$ 。

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角积分 $551$ 消掉前系数，剩 $552$ 。可令 $553$ 直接积分。边界奇异虽发散，整体可积。

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二维波动方程 $561$ 、 $562$ 。不做圆盘积分，构造解并验证。

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设 $555$ 。则 $556$ ， $557$ ，所以 $558$ 。解为 $559$ 。三维对应 $560$ ，由维数决定。