5.6 三维镜像法从平面做到球

数学物理方法 · 5.6 三维镜像法从平面做到球

数学物理方程篇·第五章 / 5.6

三维镜像法从平面做到球

教材§5.2.3，第341—346页

5.6 · 教材§5.2.3，第341—346页

取 $252$ ，源点 $253$ ， $254$ ，镜像点 $255$ 。定义 $256$ 、 $257$ ，则

251

在 $258$ 上两距离相同，所以边界值为0。镜像点在下半空间，所以它在研究区域内没有新增δ。真实源前的正号满足 $259$ 。

若要零法向导数，常用同号镜像，让法向导数相消。但那是另一种边界条件，不能把“镜像总是异号”当口诀。这里的全空间点势还应结合无穷远行为，选取符合所求问题的核。

图 P5-10 零值边界用异号像，零导数边界用同号像

左图取垂直截面。两条虚线等长，异号势在平面上抵消。

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对观察点 $262$ ， $263$ ，边界点记作 $264$ 。由外法向 $265$ 及镜像核求导，得到

260

因此 $266$ 、 $267$ 的解为该正核与 $268$ 的平面积分。先试 $269$ ：核的积分应为1。极坐标检验为

261

做到什么程度： 会从镜像写出 $270$ ，会沿正确法向求导，能用常数边界检查归一化。半空间泊松核不是二维上半平面的 $271$ ，维数改变了分母指数。

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球半径 $274$ ，源点 $275$ 距球心 $276$ ， $277$ 。反演点和权重分别为

272

格林函数为

273

在 $278$ 上， $279$ ，所以两项抵消。距离反演和电量权重缺一不可。 球心源点 $280$ 不能直接代入发散的反演坐标，要取极限，得到 $281$ 。

图 P5-11 球面镜像同时改变位置和权重

图取ρ<R，反演点在球外。源在球心时取极限，不能直接除以ρ=0。

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对 $283$ 、边界点 $284$ ，

282

在球心，分子为 $285$ 、距离为 $286$ ，核为 $287$ 。所以球心的调和值等于球面边界值的面积平均。这是前面球谐展开得到的结果，在这里从格林函数重新出现。

例如边界给 $288$ ，无需做面积分： $289$ 本身调和并满足边界，故是解。也可由唯一性验证。先识别简单调和函数，再决定是否要积分。 题目要求推导泊松公式时，才需要完整求法向导数。

图 P5-12 球心泊松核均匀，球心值等于边界平均

图为球的截面与赤道示意，平均使用球面面积元，不是截面圆周长度。

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球半径2，源点 $293$ 。求反演点、镜像权重，并验证边界点 $294$ 处抵消。

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反演点 $290$ ，权重 $291$ 。真实距离1，镜像距离2，所以 $292$ 。镜像点位于球外；如果误取同权重，则边界不会为0。

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单位球面边界为 $299$ ，求调和解在球心的值。

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球心值等于球面平均。对称性使三个平方的平均相同，且球面上 $295$ ，故各平均为 $296$ 。答案 $297$ 。注意边界多项式 $298$ 本身不调和，不能直接当整个球内的解。