5.5 · 教材§5.2.2，第336—341页

17 格林函数比全空间基本解多做了什么

区域为 ，边界为 。对固定源点 ，定义

把它拆成 。第一项负责源点的奇异性； 在整个区域内调和，负责把边界值抵消成0。 的边界值恰为 。

因此，求格林函数是在做一件非常具体的事：保留区域内唯一的单位点源，用一个没有内部新源的修正满足边界。 镜像法就是用区域外的虚拟点源构造这个调和修正。虚拟点源若落进区域，会给方程添上不该有的δ。

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18 第二格林公式：只保留本章要用的一行

对足够光滑的 ，散度定理给出

这里 是区域外法向，。令 ，考虑 、。左边成为 ；右边因 ，只留下 。移项得到

这就是本章静态题的主公式。 第一项接收内部源 ；第二项接收给定的边界值 。法向导数对边界积分变量 求，不是随手对观察点 求。

严格证明中， 在源点不光滑，不能直接把它塞进只适用于处处光滑函数的定理。可先挖掉半径 的小球，在剩余区域应用公式，再令 ；也可使用分布理论。为什么讲这一点： 解释“δ从哪里进公式”和内边界符号；第一轮不要求逐行证明极限估计。

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19 对称性是静态自伴问题的互易性

同一个狄利克雷拉普拉斯问题满足 。证明主线是对两个源点的格林函数应用第二格林公式：两者都在边界为0，边界项消失；内部两个δ各抽样一次，得到交换点位后的相等。

用处一： 核的表达式虽然长，交换观察点和源点后应不变，可用于验算。用处二： 在表示公式中调换变量时不会换成另一个核。

不要把这个结论扩展为“所有有时间的核都在时间上对称”。因果热核、推迟波核只允许过去影响未来。空间算子若非自伴，也通常要引入伴随核，不能照搬这里的互易性。

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20 做格林函数题的四项检查

1. 内部方程：除了真实源点外是否调和；源点强度是否为 。
2. 边界：把每一段边界代入， 是否为0。
3. 位置：所有虚拟源是否都在区域外。
4. 解的条件：外部或无界区域是否还满足要求的衰减、增长或有界性条件。

若边界给的是法向导数，不能直接使用上面的零狄利克雷格林函数公式。在有界纯诺伊曼问题中还存在常数零模态，并需满足通量与源的相容条件。这里强调它，是为了防止你一见“格林函数”就不看边界类型。