5.4 · 教材§5.2.1，第334—336页

13 先写定义，再分清两个符号约定

设 是常系数线性空间微分算子。它的基本解 满足

于是 的一个特解为 ，因为 。它只保证方程，并不自动满足指定边界；还可能加任意齐次解。因此“求到基本解”不等于“解完任意边值问题”。

本章格林函数沿用教材另一个约定：，配上零狄利克雷边界。请在纸上固定下面这张表：

若别的教材把 当算子或让 ，相应公式会换符号。考试先写定义，比孤立背一个正负号可靠。

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14 三维为什么是负的1除以4πr

源点以外应满足 。径向函数满足 ，解为 。取无穷远衰减的形式 ，再对包含原点的小球积分：

因此 。也就是

计算 的拉普拉斯只能得到0，不会看见原点的δ。必须补上小球通量，才能定出源强和符号。这里的小球外法向朝径向外；若在“挖掉小球”的区域上用格林公式，小球内边界的区域外法向反而朝向球心。

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15 傅里叶求法：把微分算子换成一个多项式

对全空间方程做空间傅里叶变换，，，所以形式上

逆变换、用球坐标积分，就得到上一单元的结果。这段教材计算要传达的不是三重积分有多长，而是：常系数微分算子在频域中变成乘法，基本解由其符号的倒数产生。

遇到分母的零点时，逆变换的解释可能需要额外条件；不能对所有 都不加说明地写“除完就唯一”。例如亥姆霍兹方程还涉及辐射条件。第一轮掌握频域方程、符号与归一化，球坐标积分的机械步骤可放第二轮。

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16 用一个径向源检验符号

求球 内 、 的正则径向解， 为常数。由 ，原点正则排除 项，得到

当 ，内部为正，符合 为正且源积分 为正的直觉。若公式算出整个球内负值，先检查你到底在解 还是 。