5.3 多维δ和有限区间的点源展开

数学物理方法 · 5.3 多维δ和有限区间的点源展开

数学物理方程篇·第五章 / 5.3

多维δ和有限区间的点源展开

教材§5.1末，第330—334页

5.3 · 教材§5.1末，第330—334页

二维点源写成 $103$ ，三维再乘 $104$ 。简记 $105$ ，其中 $106$ 是空间点。抽样为

100

光滑可逆换元 $107$ 后，在源点 $108$ 附近有

101

这和体积元 $109$ 正好抵消。极坐标且源点 $110$ 时，可在角坐标的局部图中写

102

写 $111$ 也等价，因为δ把它取在 $112$ 。角变量按周期理解，不能把同一点重复计数。原点没有唯一角坐标，此式不能直接拿 $113$ 代入；旋转对称的二维原点δ可用径向表示并结合 $114$ 理解。

图 P5-5 极坐标面积元与δ中的雅可比互相抵消

小扇区的面积由半径r产生雅可比；点源分布中相应出现倒数。

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设边界条件对应的一组实特征函数为 $117$ ，范数平方为 $118$ 。在分布意义下，

115

你已经会算普通函数的傅里叶系数： $119$ 。现在令 $120$ ，抽样后只剩 $121$ 。这就是基本解与分离变量法的接头处。

两端温度固定为0用正弦；两端绝热用余弦，并保留常数模态。对区间 $122$ ，绝热δ展开为

116

这里“等于”不能理解为在 $123$ 逐点求和得到一个普通数。

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杆长 $125$ ，两端绝热，初温 $126$ 。空间特征函数为 $127$ 。常数项系数 $128$ ；非零模态系数为 $129$ 。奇数模态消失，偶数 $130$ 给出 $131$ 。所以

124

这是温度方程 $132$ 的解。逐项积分，余弦项为0，故总积分始终为1； $133$ 后只有 $134$ 留下。你可以同时检查总热量和最终均温。

必须掌握： 常数项为什么不衰减，δ怎样产生特征系数。无需把这个特定中点公式当成新公式背。

图 P5-6 边界决定正弦或余弦，绝热必须保留零模态

示意n=1模态。右图端点斜率为0，不要求端点函数值为0。

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教材例5在 $136$ 时计算含 $137$ 的二重积分。核心恒等式是

135

取 $138$ ；在 $139$ 且 $140$ 时，第二个δ没有根。余下 $141$ ，根为 $142$ ，雅可比为 $143$ 。因此教材前置系数为 $144$ 的积分，结果就是 $145$ 。

意义： 不需要硬算振荡积分；它把输入延迟了传播时间 $146$ 。若 $147$ ，根在积分域外，响应为0。交换积分应通过正则化解释，不能把不收敛的普通积分直接用绝对收敛定理处理。

5.3 · 教材§5.1末，第330—334页 · 自编检查题

两端固定温度的 $151$ 杆，初温为 $152$ 。写出温度的特征级数。

展开解析

正弦范数平方为 $148$ ，系数为 $149$ 。故 $150$ 。没有常数模态；热可由两端流失，不能要求总热量一直守恒。

5.3 · 教材§5.1末，第330—334页 · 自编检查题

设 $155$ 。把原点二维δ写成 $156$ 中的形式，并检验其总量。

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雅可比绝对值是6，所以 $153$ 。乘体积元 $154$ 后总积分为1。单独变δ、不变面积元，是错误来源。