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24 星号内容为什么值得学

儒可夫斯基变换

把圆变椭圆、把圆盘内外变成线段割开的平面，能处理前面分式线性加幂不方便的裂缝边界。若课程不考星号内容，第一轮至少掌握一一性、椭圆参数式和割平面三个结论；复杂的多步裂缝例题可以第二轮复做。

这不表示“和习题无关”：原书习题11的径向割缝、斜向割缝都需要类似的“把裂缝拉直或打开”的思路。

注意本书归一化有，对应焦点。有的教材用，对应焦点，两套结果不能直接混用。

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25 一一性由互为倒数决定

若且两个点非零，则

所以两个不同点同像，当且仅当。因此单位圆内部的非零部分和单位圆外部都各自一一，因为同一区域里不可能同时含有一对互为倒数的不同点。

导数为

仅在为零，它们恰在单位圆边界。0是简单极点，在球面意义下映成；普通平面叙述时须从圆盘内去掉0。

别把改成。 前者来自代数同像条件，后者是单位圆对称点，两种关系用途不同。

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26 圆变椭圆，射线变双曲线

令，写，得到

固定，是椭圆，半轴

所以所有椭圆焦点相同，都是。时系数为负，原圆逆时针走一圈，像椭圆顺时针走；时像椭圆逆时针走。这种方向变化不违反局部保角，原圆作为“圆盘内部边界”或“外部边界”的正向本来就不同。

当时，，椭圆压成线段。当或，椭圆越来越大。

固定非轴向的，消去得到

射线的一段对应一条双曲线的部分分支。原来的圆与射线正交，像椭圆与双曲线也正交。轴向角度需回到参数式看，不能在分母为0时套这个式子。

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27 像域和反函数：根号前的正负号怎么选

单位圆上，线段被上下两段半圆各覆盖一次。圆盘内部和外部则分别一一映到去掉的扩充平面；普通平面中外部不含时，像也不含。

更具体地，

因此上半单位圆内部变到下半平面；上半平面中的单位圆外部变到上半平面。这个符号式比记图可靠。

反解二次方程得

两根乘积为1。对割平面，选解析分支，满足当。则外部反函数为，内部反函数为。

“满足”是函数分支的条件；直接把每个数值交给主平方根，跨到负实方向可能选错。第一轮能用“所求根模大于1或小于1”检查分支，就已经抓住关键。

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28 带竖直裂缝的上半圆外域：原书例5逐步走

原域是，再删去。先令

原来的上半圆周变成；整个上半圆外域原本会变成上半平面。裂缝上的像为

所以删去的射线变成。

再令。上半平面被平方成正轴割平面，竖直裂缝又变成负轴上的射线。于是

第三步令。这两条被删去的射线合在一起变成：负射线映为，正射线映为，无穷远的边界极限对应1。

最后选的平方根，，便得到上半平面。可以整理成

教材给出一个含根号的紧凑式；实际使用时要连同上述连续分支一起读。把各层主平方根直接相乘相除，不能自动保留正确分支。 例如处最终应取的根，可作为检验。

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29 余弦的映照：用已经会的三步解释

教材最后指出

可以拆成、、。对，第一步得到，第二步得到沿正实半径割开的单位圆内部，且不含0。

儒可夫斯基先把整个去心单位圆一一变成；被删去的正实半径又映成。因此最终像域是

这段的用途是教你分解熟悉的初等函数，而非另外死记余弦的区域表。第一轮能写出三步及各自的域，便已达到本段的主要目标。