第六章学习讲义

6.1 · 教材142—146页

01 先把“映照”翻译成人话

输入一个复数点，函数给出另一个平面上的点。当沿着一条线移动，也描出一条线；当遍历区域，所有输出点组成像域。这是“映照”一词在本章的意思。

比如把每个点先到原点距离放大两倍，再向上移动1。把极坐标变成。后一个函数能把象限变成半平面，已经有了简化区域的用途。

做题需要的输出是区域，不只是边界曲线。 “实轴变成单位圆”只交了一半答案：还要判断上半平面到底变成圆内还是圆外，是否覆盖完整目标区域。

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02 导数为什么同时管旋转与伸缩

复导数存在时，在附近有

设。忽略相对越来越小的余项，局部变化就是“乘，再转”。因此

“局部”指趋近该点时的极限效果。它不表示整幅大图严格相似，也不表示一整条有限曲线长度都乘同一个常数。若导数随位置变化，缩放比例也随位置变化。

教材用曲线参数证明：若经过且，则

这不是额外的一套公式，而是“切向量乘复数”的链式法则。第一轮应能用它解释旋转角，不必背原文的曲线命名。

6.1 · 教材142—146页

03 保角与保形：原书特意多加了什么条件

两条过的光滑曲线，切向量分别为。经过映射后都乘同一个，所以

有向夹角保持不变，各方向的局部伸缩系数也相同。解析且导数非零，就具有这里的局部保角性质。

本书用语要认准： 在域内处处保角，称为保角变换；再加上域内一一对应，才称为保形变换。不同教材可能把“保形”用于局部性质，做这本书的题应服从本书的定义。

例如处处导数非零，但，所以它在整个复平面上不是本书意义下的一一保形变换。限制到高度不超过的开水平条带，才消除了这类重叠。

共轭会把有向角的方向反过来，属于反向保角的例子；它在本章的解析保形变换范围之外。不要只看角度的绝对值就认定符合定义。

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04 导数为零的点：为什么必须单独处理

若，，主导项把从该点出发的角度乘以，所以一般不保角。最直接的例子是在原点把第一象限的直角变成平角。

但在处，，过该点两条曲线的夹角保持。“把关于原点的辐角乘2”和“保持非零点处曲线的交角”完全可以同时成立。 前者量的是从固定原点看射线，后者量的是曲线在交点的切线。

一一性还要另外证明。例如在导数不为零，但和同像。限制到第一象限后，辐角范围变成，才能一一映为上半平面。

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05 无穷远点怎么检查：用倒数坐标

教材花一页讨论无穷远，是为了让“直线也是圆”“极点也能保形”这些说法有准确含义。实用规则是：源点为时用；像点为时用。在新坐标的零点检查解析性和非零导数。

对，在无穷远两边换坐标：

对，在附近用像坐标；在附近用源坐标，则。两处都没有局部退化。

掌握边界： 要会换坐标、知道简单极点在球面意义下可以保形；第一轮不必逐行重演教材用两条无穷远曲线定义角度的长证明。普通平面里说“在0解析”仍然是错的。

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06 长度和面积：为原书习题3、4补齐工具

弧长微元变为，于是

若参数像曲线重复覆盖，这个积分按走过的次数计长。面积方面，C-R方程给出雅可比

一一保形时，像域的几何面积为

这部分不是背景闲话：原书直接出题。要记住长度是一倍模、面积是模的平方；多对一时直接积分得到的是按覆盖重数累计的面积。

6.2 · 教材146—150页

07 四个系数，为什么只有三个自由度

分式线性变换，也叫莫比乌斯变换，写成

四个系数同时乘同一个非零数，函数不变，所以只有三个复参数的自由度。行列式条件保证变换不退化成常数。

若，极点是，且。若，就是整线性变换，。反解时把收集成

因此反变换也是同类函数。有限普通点处

做题要达到： 看见分式后能立刻找零点、极点、无穷远的像，能反解，能检查是否退化。

6.2 · 教材146—150页

08 为什么它保形：把复杂式子拆成简单动作

时，将式子整理为

从右往左读动作：先平移，再取倒数，再乘非零常数，最后平移。每个动作都是扩充复平面上的一一保形变换，所以复合仍然保形。这个拆法也解释了为什么它们的复合仍属于分式线性变换。

这里讲证明的用途是帮你构造变换，尤其是“先把某个边界点送到无穷远，把圆拉成直线”。第一轮需要会拆分、会用，不必背四个系数的所有中间代数。

6.2 · 教材146—150页

09 保圆性中的“圆”包含直线

圆与直线统一写成广义圆方程

非退化时；对应直线，对应通常的圆。代入并乘，得到

仍是同一种方程。平移、旋转、伸缩显然也保持广义圆，所以分式线性变换把广义圆变成广义圆。

最有用的判据：原边界含有变换的极点，像边界就通过无穷远，因此是一条直线。 否则像为通常的圆。保圆性只管边界的形状，暂时不管圆内、圆外。

实际求像边界有两种方法：选原边界三个点算像，以三个像点确定圆或直线；或者把反变换代回边界方程。前者快，后者方便精确写出圆心与半径。

6.2 · 教材146—150页

10 圆对称：一个公式解决“另一个点在哪里”

关于直线的对称就是镜面对称。关于圆，对称点满足“同一条从圆心发出的射线、距离乘积为”。写成公式是

圆心与互为对称，圆周上的点与自己对称。单位圆的公式尤其常用：。这里有共轭！ 它与儒可夫斯基变换里出现的代数倒数不是同一概念。

教材先证明：过一对对称点的广义圆，与给定圆正交；再利用保圆、保角把正交性送到像平面，得到“对称点映成关于像圆的对称点”。这就是保对称性。

为什么需要讲这段几何证明？因为当你知道某点映成0，便能通过对称关系快速定位映成的点，构造圆盘自映射和同心圆环映射。第一轮会用公式和结论即可；切线幂定理那一步属于证明细节。

6.2 · 教材146—150页

11 三点确定一个变换：按固定次序写交比

给定互不相同的与互不相同的，唯一的分式线性变换由

确定。别靠记忆随意交换其中一对：左右必须采用同一顺序。该式把第一点变为0、第二点变为、第三点变为1，左右于是是同一个标准化坐标。

含时应取极限。例如时右边的最后一个比值趋于1；不是把每个出现的因子都当普通数删除。

若只规定，直接设

再用第三点定，通常比代四个系数省事。若要求，则

检验习惯：每次都把三个指定点代回去。 这比重新检查交比的代数可靠。

6.3 · 教材150—154页

12 边界算完以后，用一个内部点定侧

分式线性变换在扩充平面上一一对应，一条广义圆将球面分成两侧，映射把每一侧完整送到像圆的一侧。因此：先求边界，再选原域内部的一个点，看其像位于哪边。

也可以用有向边界：沿正向边界走时原域在左侧，像域仍在像边界的左侧。但图上容易看错，初学时内部测试点更稳妥。

教材例2的变换为

当实数时，分子分母的模都等于，所以实轴变成单位圆。原域是下半平面，它包含极点，其像为，所以像域是单位圆外部。若只在普通平面书写，应说明极点处不取有限值；在扩充平面中外部包含。

对一般解析函数，“边界加一个点”不自动证明满射与一一性；这里能这样做，是因为分式线性变换已有全局一一性定理。后面的幂函数、指数函数要先限制定义域。

6.3 · 教材150—154页

13 上半平面到单位圆：从距离关系看公式

取，，则

把上半平面一一映到单位圆内，且。原因很直观：上半平面的点到比到下方镜像点更近。代数上，

边界实轴两段距离相等，像在单位圆上。只转动目标圆盘，不改变模。若题目再给导数旋转角，就用它定。

特别常见的凯莱变换是

在处，局部旋转角为，伸缩系数为。本章原书习题7正是这类归一化问题。

6.3 · 教材150—154页

14 圆盘自映射：原书例3完整推导

要把变到，并把指定点送到0。单位圆关于的对称点为；0关于目标单位圆的对称点为。由保对称性，极点必须在。于是整理成

当时公式直接变成旋转，不用单独操作“无穷远极点”。圆周上，所以前面的常数必须模为1。

不仅边界正确，内外也能直接核对：

在处求导：

分母是正实数，因此指定的旋转角就是。原书要求角度时，取，得到。不要误把写成。

6.3 · 教材150—154页

15 偏心圆环变同心圆环：原书例4

两条圆为与。前者位于后者内部，原域取两圆之间。希望变成以0为中心、外半径1的圆环。

设原像分别映成0与。因为0、关于任意同心圆对称，所以必须同时关于原来的两个圆对称。圆心都在实轴上，可求实的：

设，两式化成、，得到，故为。

先设，则。0在小圆内，因此小圆的内部被送到无界一侧，小圆周对应目标外圆。用小圆上的定模：

可取

大圆上的映成模，所以像域为。交换0、的原像，则得到另一族

仍映成同一个半径比的圆环，但两条原边界的对应交换。这里不要求背数字；要会“共同对称点 → 零极点 → 定比例 → 判两条边界”。

6.4 · 教材154—157页

16 幂映射：先记模角，再限制一一性

对，

中的辐角应沿选定区间连续取值。角域若宽度不超过，且不含顶点0，幂映射在其中一一，导数也不为零。角宽变为，圆弧半径变为。

当时，像是沿一条射线割开的平面。两条边界射线的像虽然落在同一条射线上，仍代表切口的两岸；不能把两岸粘回去，声称像是整个去心平面。

最常用的套路是

其中，再取。非整数幂应通过该角域上的连续对数定义。

6.4 · 教材154—157页

17 根式的分支必须和切口一起交代

在负实轴割开的平面，取，则

映到。在正实轴割开的平面，若改取，同样的形式映到。

特别地，后一个平方根分支把正轴割平面映成上半平面；主平方根把负轴割平面映成右半平面。“开平方以后就是上半平面”缺少分支条件。

分支的另外种选择会让目标角域整体旋转。只给一个点的根值，常可把选择唯一固定下来；若该点在切口上，就必须说明取哪一岸的边界极限。

6.4 · 教材154—157页

18 上半单位圆到上半平面：原书例1

原域，边界由直径和上半圆弧构成，两端点为。先用

把，使两条原边界都变成直线。直径内部的映成，上圆弧上的映成。测试内部点，得到，所以中间域是第三象限。

第三象限的辐角可选。平方以后为，等价于上半平面，于是

为什么一定一一？第一步是分式线性，第二步在角宽的第三象限中一一；复合仍一一。0和极点都在边界，不妨碍内部保形。

这是本章最值得独立重做的例题。以后遇到“两段圆弧围起来的区域”，首先想把交点送到0、。

6.4 · 教材154—157页

19 两单位圆相交的透镜域：原书例2

取，交点为

先令。两条边界圆都通过，所以变成通过0的直线；原域在交点的内角为，像域是同样角宽的扇域。

定位不能靠猜：边界点映成，映成；内部点映成。因此选择连续辐角

旋转后，得到；最后取

像就是上半平面。这条三步路线比直接记更安全。教材先立方得到正轴割平面，再取上半平面的平方根，两步合起来就是上述次幂；直接省略中间分支，很容易把目标旋转错。

6.5 · 教材158—160页上部

20 指数把直角网变成极坐标网

写，则

水平线映为射线，竖直线映为圆或圆弧。水平条带若高度，指数在其中一一，像为的角域；高度等于时是割平面。

导数从不为零，只保证局部无退化；全平面的周期性仍会造成重叠。这是6.1区分局部与整体的第二个标准反例。

对数反过来把射线变为水平线、圆弧变为竖直线。扇域先选连续辐角，再用，就得到水平条带。开角不超过的一一扇域最容易处理。

6.5 · 教材158—160页上部

21 竖直条带到上半平面：原书例3

给定。指数直接作用在这里通常会因为虚方向无限延伸而重复覆盖；先把条带转成高度的水平条带：

因为，恰好落在。再令，得到

左边界映为正实半轴，右边界映为负实半轴；内部点映成。这是检查方向最省力的办法。

该式也是一一的：旋转伸缩先把原域一一映到高度的条带，指数在该条带一一且覆盖整个上半平面。

6.5 · 教材158—160页上部

22 月牙域到条带：原书例4

两段圆弧在相交，教材用表示在处相对于正实轴的切线方向，。令

两条圆弧便变成从0出发的射线。由于为负实数，局部旋转，可把像域连续辐角取为

然后选这个分支的，得到高度的条带，再归一化到目标：

这道题的价值是组合路线：两弧域 → 角域 → 条带 → 调整高度。 不必死记的外观；换一个分式线性变换，辐角区间也会改变，必须和你自己的中间域配套。

6.5 · 教材158—160页上部

23 画一张变换账本，避免复合式越写越乱

每次复合都写四列：当前区域、使用函数、下一步区域、分支或一一性条件。比如透镜域到上半平面：