第六章 / 6.7
用保形变换求平面场的复势
教材164—166页
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30 先认清本书把电势放在虚部
本书这一节用表示复势，电势是，给出电力线族。其他教材也有把电势放实部的约定；这里始终按本书来，防止最后取错部分。
C-R方程保证调和，并且。在导数非零处，两族等值线正交。映到平面后，是竖线，是横线。
求电势时常做的是：找坐标变换，在平面写简单复势，然后
坐标变换和物理复势不必是同一个函数。 只有边界数值也正确时，映射才同时可以直接当复势。
更一般地，调和函数复合满足
所以无源区的拉普拉斯方程保留下来；这正是整个方法能用于静电、稳态温度等问题的原因。
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31 两段无限金属板：原书例1
取上半平面，正实半轴电势为，负实半轴为，两者在原点绝缘。对数取：
它把上半平面映成高度的条带，并把两段边界分别送到虚部0与。因此
逐条验边界：得，得。电势只随角度变，与半径无关；等势线是射线，电力线是半圆。
若，电场沿角度减小方向，大小为。在绝缘接缝原点附近发散，是理想化的突变边界造成的；不能把原点当成普通内点验导数。
为什么保留物理解释？它直接帮你判断符号：电场应从高电势侧指向低电势侧，公式若给出相反方向就应重查。
图 6-13 两板电势：等势射线与电力线半圆本书电势取复势虚部，所以射线为等势线，半圆为电力线。
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32 圆筒分成上下两半：原书例2
取单位圆内，上半圆电势0，下半圆电势1。先用
把圆盘映到上半平面：；上半圆弧映成正实半轴，下半圆弧映成负实半轴。再套上一例：
其中。令，直接有
圆内，所以取辐角的稳妥实数表达是
这里表示点的正确象限角，此处取值。写成普通反正切时才需分三段；不能直接用替代。
内部检查：时；上半圆边界除端点外趋于0，下半圆趋于1，中心也是。绝缘端点的边界值跳跃，不要求同时连续等于0和1。
图 6-14 半圆筒：电势取复势虚部，中心场向上端点±1为边界电势接缝；中心F′=-2/π，按本书约定得到Ey=+2/π。
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33 场强怎样从复势求出，掌握到哪里
按照本书“电势为虚部”的约定，C-R给出
复合以后，所以场强大小还要乘。电势值可以直接复合，梯度不能只把变量换名。
例：两板问题，，故场强。圆筒问题
中心场强，方向向上，与电场从下方高电势指向上方低电势一致。具体代入，得，所以。复导数的负号不能直接当成电场方向，必须按照本书的实部、虚部约定换回分量。
第一轮要求： 会找映射、配边界常数、取虚部、验中心和边界。若只考纯复变映照题，场强推导可稍后深入；本节不是完全无用的背景，它解释为什么要研究保形变换。