第六章 / 6.4
幂函数根式与角域
教材154—157页
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16 幂映射：先记模角，再限制一一性
对，
中的辐角应沿选定区间连续取值。角域若宽度不超过，且不含顶点0，幂映射在其中一一，导数也不为零。角宽变为，圆弧半径变为。
当时，像是沿一条射线割开的平面。两条边界射线的像虽然落在同一条射线上，仍代表切口的两岸；不能把两岸粘回去，声称像是整个去心平面。
最常用的套路是
其中，再取。非整数幂应通过该角域上的连续对数定义。
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17 根式的分支必须和切口一起交代
在负实轴割开的平面，取，则
映到。在正实轴割开的平面，若改取，同样的形式映到。
特别地，后一个平方根分支把正轴割平面映成上半平面；主平方根把负轴割平面映成右半平面。“开平方以后就是上半平面”缺少分支条件。
分支的另外种选择会让目标角域整体旋转。只给一个点的根值，常可把选择唯一固定下来；若该点在切口上，就必须说明取哪一岸的边界极限。
图 6-7 角宽决定幂指数，切口决定根式分支第一象限宽π/2，平方在该域内一一并完整覆盖上半平面。
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18 上半单位圆到上半平面：原书例1
原域，边界由直径和上半圆弧构成，两端点为。先用
把，使两条原边界都变成直线。直径内部的映成，上圆弧上的映成。测试内部点，得到，所以中间域是第三象限。
第三象限的辐角可选。平方以后为，等价于上半平面，于是
为什么一定一一？第一步是分式线性，第二步在角宽的第三象限中一一；复合仍一一。0和极点都在边界，不妨碍内部保形。
这是本章最值得独立重做的例题。以后遇到“两段圆弧围起来的区域”，首先想把交点送到0、。
图 6-8 上半单位圆 → 第三象限 → 上半平面中间域为第三象限；分式线性与平方分别在各自源域中一一。
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19 两单位圆相交的透镜域：原书例2
取，交点为
先令。两条边界圆都通过，所以变成通过0的直线；原域在交点的内角为，像域是同样角宽的扇域。
定位不能靠猜：边界点映成，映成；内部点映成。因此选择连续辐角
旋转后，得到；最后取
像就是上半平面。这条三步路线比直接记更安全。教材先立方得到正轴割平面，再取上半平面的平方根，两步合起来就是上述次幂；直接省略中间分支，很容易把目标旋转错。
图 6-9 透镜域先拉成120°扇域，再旋转、取3/2次幂中间域跨负实轴，必须选连续辐角120°—240°，不能机械使用主值。