第六章 / 6.1
导数与保形的概念
教材142—146页
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01 先把“映照”翻译成人话
输入一个复数点，函数给出另一个平面上的点。当沿着一条线移动，也描出一条线；当遍历区域，所有输出点组成像域。这是“映照”一词在本章的意思。
比如把每个点先到原点距离放大两倍，再向上移动1。把极坐标变成。后一个函数能把象限变成半平面，已经有了简化区域的用途。
做题需要的输出是区域，不只是边界曲线。 “实轴变成单位圆”只交了一半答案：还要判断上半平面到底变成圆内还是圆外，是否覆盖完整目标区域。
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02 导数为什么同时管旋转与伸缩
复导数存在时，在附近有
设。忽略相对越来越小的余项，局部变化就是“乘，再转”。因此
“局部”指趋近该点时的极限效果。它不表示整幅大图严格相似，也不表示一整条有限曲线长度都乘同一个常数。若导数随位置变化，缩放比例也随位置变化。
教材用曲线参数证明：若经过且，则
这不是额外的一套公式，而是“切向量乘复数”的链式法则。第一轮应能用它解释旋转角，不必背原文的曲线命名。
图 6-1 同一导数让切向量旋转同一角度、伸缩同一比例两向量都转45°、长度乘√2；交角仍为60°。
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03 保角与保形：原书特意多加了什么条件
两条过的光滑曲线，切向量分别为。经过映射后都乘同一个，所以
有向夹角保持不变，各方向的局部伸缩系数也相同。解析且导数非零，就具有这里的局部保角性质。
本书用语要认准： 在域内处处保角，称为保角变换；再加上域内一一对应，才称为保形变换。不同教材可能把“保形”用于局部性质，做这本书的题应服从本书的定义。
例如处处导数非零，但，所以它在整个复平面上不是本书意义下的一一保形变换。限制到高度不超过的开水平条带，才消除了这类重叠。
共轭会把有向角的方向反过来，属于反向保角的例子；它在本章的解析保形变换范围之外。不要只看角度的绝对值就认定符合定义。
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04 导数为零的点：为什么必须单独处理
若，，主导项把从该点出发的角度乘以，所以一般不保角。最直接的例子是在原点把第一象限的直角变成平角。
但在处，，过该点两条曲线的夹角保持。“把关于原点的辐角乘2”和“保持非零点处曲线的交角”完全可以同时成立。 前者量的是从固定原点看射线，后者量的是曲线在交点的切线。
一一性还要另外证明。例如在导数不为零，但和同像。限制到第一象限后，辐角范围变成，才能一一映为上半平面。
图 6-2 原点辐角翻倍，与非零点处保持交角并不矛盾关于原点的辐角变化与非零点的局部保角是两种不同角度；整体一一性仍须另证。
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05 无穷远点怎么检查：用倒数坐标
教材花一页讨论无穷远，是为了让“直线也是圆”“极点也能保形”这些说法有准确含义。实用规则是：源点为时用；像点为时用。在新坐标的零点检查解析性和非零导数。
对，在无穷远两边换坐标：
对，在附近用像坐标；在附近用源坐标，则。两处都没有局部退化。
掌握边界： 要会换坐标、知道简单极点在球面意义下可以保形；第一轮不必逐行重演教材用两条无穷远曲线定义角度的长证明。普通平面里说“在0解析”仍然是错的。
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06 长度和面积：为原书习题3、4补齐工具
弧长微元变为，于是
若参数像曲线重复覆盖，这个积分按走过的次数计长。面积方面，C-R方程给出雅可比
一一保形时，像域的几何面积为
这部分不是背景闲话：原书直接出题。要记住长度是一倍模、面积是模的平方；多对一时直接积分得到的是按覆盖重数累计的面积。