数学物理方程篇·第三章 / 3.2
母函数递推导数与积分
教材277—282页
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08 母函数把所有整数阶打包成一个表达式
原书给出
把左右对、求导，再比较系数，可得到后面递推式；把两个这样的指数相乘，可得到加法公式。
这里是辅助变量，不是物理时间。学习母函数是为理解一组公式如何共同产生，第一轮重点是会选用递推式；不要求每次现场重建所有阶。
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09 四条关系合并记，比背十几条更可靠
最常用的一组是
等价地，
特别、。积分题通常先看能否凑成这两种乘积导数，边界导数题则用换成零点条件。
图 P3-5 两条递推关系产生导数、换阶与积分工具图中x^ν表示x的ν次幂；正式公式见正文。先识别乘积导数，常可少做一次分部积分。
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10 链式法则：Jν的撇只对完整自变量求导
因此代入，应得到，不能漏掉。这一个常数漏掉，特征根和单位都会错。
例：。验证时把乘积导数写完整，结果是；不是没有的版本。
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11 常用积分如何一步步降下来
利用，有。对，把，分部积分：
再用，可改写为。两个答案不同外观但等价。一般多项式乘贝塞尔，先用递推把阶数与幂次对齐，再分部积分。
原书还给
等递推积分。它们是计算工具，不需要全部背熟；会从导数公式推回去更稳妥。
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12 积分表示与拉普拉斯积分：选取与题型相符的工具
整数可用
特别。代入带指数的积分并交换次序，可得时
由分部积分，得到，。这与前面拉普拉斯变换的附表衔接。
第一轮会识别“指数衰减乘贝塞尔”可以用积分表示或变换；不用强迫自己把每种特殊积分都化成初等函数。交换积分需要绝对收敛等理由，这里提供衰减。
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13 母函数产生的三角展开：原书例1的用途
令，合并与的项，得到
例如得；得、。
讲这一段为原书习题5提供直接路线，也说明“指数形式、三角形式、整数阶求和”可以互相转换。普通边值题不需要使用这些展开时，可以先跳过繁琐证明。