数学物理方程篇·第三章 / 3.10
球内球外与半球边值问题
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37 角谱确定后，径向只剩欧拉方程
令，径向为，试得，故或。
轴对称调和展开为
球内包含原点且有界：删全部负幂。球外要求无穷远趋零：删全部正幂及常数项，保留。球壳两端都有正半径，通常两种幂均保留。
图 P3-19 球内保留r的正幂，球外趋零保留负n减一幂球内和圆内的径向方程不同；球外的常数角模态仍有1/r径向因子。
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38 球内与球外的同一边界：径向因子差在哪里
球面给。球内有界解
球外趋零解
例如，球内是，球外是。球外的零阶项也会按衰减，不能误保留为常数。
图 P3-20 球面角向模态与球内径向因子各自负责一部分阶数n=0；球面角向由P0描述，球内越高阶的扰动在靠近中心时越弱。
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39 半球赤道：零温挑奇阶，绝热挑偶阶
上半球，令。底面在：零温要求，挑奇阶；底面绝热要求，即，挑偶阶。
对零温底面、球面恒温，把半区间常数作奇延拓，相当于球面数据。系数只在奇阶出现：
例如前两项系数。球面与底面交圈存在温度冲突，应分别理解边界内部极限。若底面绝热而球面恒温，常数直接满足全部条件，无需无穷级数。
图 P3-21 赤道零值取奇阶，赤道零导数取偶阶如果球面恒温且底面绝热，常数解已经满足全部数据，无需求和。
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40 半空心球：先减去底面温度，再联立径向系数
原书习题29：内半径、外半径的上半球壳，内外球面温度均为，底面。令，底面零，球面数据变成。
只需一个角模态，设。两球面给、。解出
这是“提升＋奇偶选择＋球壳双径向分支”的综合题。先辨认只含，比从无穷级数开始求全部系数快得多。
图 P3-22 半空心球减去底面常数后只剩P1模态图为经线半剖面；内球面半径R/2，底面包括两条环形截面线段。