1.1 · 教材205—209页

01 一个未知函数依赖多个变量，求导时先说固定谁

弦的位移写成：固定看，研究某个位置如何运动；固定看，研究这一时刻弦的形状。偏导数与正是这两种不同变化率。

含未知多元函数及其偏导数的关系式叫偏微分方程。常微分方程中的未知量通常依赖一个自变量；这里多个自变量使解的自由度更大，不能只靠几个常数描述所有可能状态。

例如中的是时间，是空间；中都是空间。判断需要什么初始条件时，要看时间导数阶数，不能只看整个方程最高阶。

1.1 · 教材205—209页

02 阶数线性齐次：三个问题分开判断

阶数是出现的最高阶偏导数。是一阶方程；是三阶方程，原书用它说明并非只研究二阶模型。

线性要求未知函数及其导数以一次线性组合出现，系数只能依赖已知自变量。例如

是线性方程；、、则使它非线性。变量系数不等于非线性，常系数也不自动保证线性。

对线性方程，把全部含的项放在左边，写成。若，称齐次；否则非齐次。虽有本身，仍是齐次。齐次性不是“式子里有没有常数系数”。

1.1 · 教材205—209页

03 拉普拉斯算子：把空间方向的二阶导数相加

常用记号为

下标表示空间维数，不把时间算进去。三维波动方程有四个自变量，但空间拉普拉斯仍是。

教材给出一般二阶线性常系数算子

这里可通过合并混合导数实现。第一轮不必背全部下标；需要理解“线性算子”就是把求导、乘已知系数、相加打包成一个符号。后面叠加原理靠的就是。

1.1 · 教材205—209页

04 什么叫一个解：代入以后在指定区域内成立

给定函数能满足方程，就称它是一个解。必须同时说明区域和光滑性，奇点处不能默认也满足。

三维中，为到某个固定点的距离，在满足；在源点无定义。二维也在调和。把源点偷偷包括进去，会把物理点源与无源区混为一谈。

原书例1设代入二维拉普拉斯方程：

所以条件为。若都限为实数，只能；要得到非平凡的纯指数形式，通常允许其中一个参数为虚数。再取实部、虚部，可以得到

这些都是真实的调和函数。不要同时说“是实数”又未经解释写。

1.1 · 教材205—209页

05 积分常数变成任意函数：原书例2

对，因为求导时固定，积分得

“常数”只是不依赖被积分变量，仍可任意依赖。原书的先变成，所以，再积分得到

每次积分都要保留其他变量的自由函数。这类题比复杂方程更适合检查是否理解偏导数。

任意函数的数目与方程阶数有联系，但不能把“一阶一个、二阶两个”当成所有PDE、所有区域的无条件定理。这里它解释几个可直接积分的例子，具体模型还要结合条件。

1.1 · 教材205—209页

06 波动方程的两个行波：原书例3

对，，令

链式法则给出

展开平方，，所以方程变成。由上一段积分，

是向右的行波，因为保持同一特征值时，随时间增大；向左。负号对应右行，是解出波峰位置的结果，不是靠箭头记忆。