实部级数 收敛，虚部级数 发散，因此原级数发散。通项趋于零是必要条件，不是充分条件；收敛的定义考察部分和的极限。

第一式的系数比 ，所以 。第二式的系数比为 ，所以 ，只在中心 收敛。半径公式取的是系数比极限的倒数。

三个级数的半径都为 。第一式在两个点都发散，因为通项不趋于零。第二式在 发散，在 条件收敛。第三式在两个点都绝对收敛，且实际上在整个单位圆周上绝对收敛。仅凭半径不能判断边界。

令 ，则

最近奇点是 ，距离中心 为 ，与几何级数条件一致。

利用 ，可得 的系数为 。平方整个和式会产生交叉项；把每一项单独平方会漏掉它们。

分别从 和 开始，所以零点阶数为 和 。判断的是第一个非零项的幂次，不是原式中看见的最低显式幂次。

两边乘 ，比较系数，得到 、。因此前六个系数是 ，故 。分母零点为 ，最近者到原点的距离是 ，这就是收敛半径。

最低非零幂次为 ，所以原点是二阶极点。负一次幂系数为 ，它也是第五章将要使用的留数。

不能。原点本来就是解析点。奇点分类必须使用贴着该中心的去心邻域展开，不能使用远离中心的外环展开。

原点是三阶极点。主部是 ；缺少二次负幂并不改变三阶极点的结论。负一次幂系数为 。

在 附近，展开为 ，仍有无限多个非零负幂，因此是本性奇点。

在无穷远点，令 ，得到 ，故无穷远点是二阶极点。

分母在 有零点。这些点趋于原点，取倒数后变成一串极点。因此原点的任意去心邻域都含其他奇点，原点是非孤立奇点。先验孤立性，再用三分法。

第一式可去，补值为 。第二式代换后为 ，在 解析且值为 ，所以无穷远点可去。第三式有极点 逃向无穷远，所以无穷远点非孤立。第四式代换后为 ，无穷远点可去，补值为 。

，所以是三阶零点。两函数各有二阶零点，乘积是四阶零点。商约去 后为 ，在原点补值为 。两个相同阶零点函数的和，不一定保持原阶数。

，原点为一阶极点。乘积最低幂次为 ，且系数非零，所以是四阶极点。商可写成 ，原点可去，补值为 。相同阶极点相加时必须检查主部抵消。

分子在 有二阶零点，分母在 有三阶零点，因此原点是一阶极点。在 ，分子为 ，分母有一阶零点，所以也是一阶极点。

在 中：

展开中心是 ，外边界由另一个奇点 决定。无穷远点是孤立的；代换后 乘有限阶因子，再减去有限阶项，仍有本性奇异性，因此无穷远点为本性奇点。