4.3 / 01 · 本节应用

罗朗级数与负整数次幂

第 87—88 页开头：为什么还需要另一种展开？

泰勒展开只有：

这些非负整数次幂。

但是：

在 点就无法写成一个在中心附近成立的普通泰勒级数。

怎么办？

允许使用：

于是得到罗朗级数：

把它拆开看：

罗朗级数就是允许负整数次幂的展开。

但不是允许任何幂。例如：

涉及分支，不能直接当成本章这种普通罗朗级数中的一项。

4.3 / 02 · 第88—89页

收敛圆环的来源

正幂部分：

通常要求离中心不要太远：

负幂部分：

可以令：

它就变成关于 的普通幂级数：

要求 不要太大，换回 ，就是离中心不要太近：

两边都要成立，因此取交集：

这就是收敛圆环。

你可以这样记：

• 正幂部分限制外边界；
• 负幂部分限制内边界；
• 罗朗级数要两部分分别收敛。

这里的双向无穷求和，不是在允许你随便把两端重新配对抵消。

特殊情况也包括在内：

• ：去掉中心的圆；
• ：向外无限延伸的圆环；
• 两者同时出现：整个去心平面。

4.3 / 03 · 第89—91页

罗朗定理与系数唯一性

定理说：

如果 在圆环

内单值解析，那么在这个圆环中：

系数是：

这里 要位于圆环中，正向绕中心一周。

中心 本身可以不解析，甚至可以不属于定义域。 只要圆环内部解析，就能使用定理。

因此，在中心是奇点时，不能再用：

硬求系数，因为中心的那些导数可能根本没有定义。

教材证明的结构仍然来自柯西积分公式。

选两个同心圆：

• 在 的内侧；
• 在 的外侧。

两条圆都按逆时针方向记，则：

外圆上：

所以像泰勒证明一样，展开出 的非负次幂。

内圆上：

就反过来配：

从而展开出 的负次幂。

外圆贡献非负幂，内圆贡献负幂。

这就是整段证明最值得记住的结构。

教材随后证明展开唯一。核心积分是：

如果要提取 ，就在展开式两边乘：

再积分，只有 那一项留下。

因此：

为什么这个“同一圆环”必须说？

因为换圆环，展开式可能完全不同。下一道例题就是这件事。

这里也提前指出一个与第五章的联系：

第五章的留数，就是这个负一次幂系数。 所以罗朗展开不只是换一种写法，它会直接变成积分计算工具。

4.3 / 04 · 第92页

孤立奇点与去心邻域

假设：

内每个点都解析，只有中心 不解析，那么 是孤立奇点。

“孤立”的意思是：

能在它周围画一个足够小的去心圆，里面找不到其他奇点。

这种去掉中心的小圆，就是去心邻域。

例如：

在 附近，除了 自己，没有别的奇点。因此它是孤立奇点。

但教材给的：

情况不同。

它在：

有奇点，而且：

因此，不管在 周围画多小的去心圆，里面都会出现其他奇点。

所以：

后面可去、极点、本性这三分法，针对的是孤立奇点。必须先检查“孤立”。

4.3 / 05 · 本节应用

分式向内和向外的展开规则

先把最常用的规则讲透。

设要以 为中心展开：

令：

则：

在内侧：。

提出常数 ：

因此：

得到的是非负次幂。

在外侧：。

提出变量 ：

因此：

得到的是负次幂。

这两种展开来自同一条几何级数公式。

它们都来自：

区别只是：哪个量除以哪个量，才能让模小于 1。

做题时最重要的顺序是：

4.3 / 06 · 第92—93页

同一函数在五个区域的展开

教材函数是：

先部分分式分解：

两个奇点在：

以 为中心，到它们的距离分别是 1 和 2，所以自然分成三个区域：

下面不仅做教材要求的外环，也把内圆、中间圆环一起做掉。它们能把方法串起来。

区域一：。

对两项来说，都位于相应奇点的内侧：

因此：

这个区域包含中心，展开没有负幂，因此也是泰勒展开。

区域二：。

对奇点 2，仍在内侧：

对奇点 1，已经在外侧：

所以：

现在同时出现了正幂和负幂。

区域三：。

对两个奇点都在外侧：

因此：

注意 项为零，所以开头其实是：

同一个函数，三个区域，三种展开。

下面切换区域，可以看见每个展开式究竟覆盖哪里：

教材还要求在 附近展开。

这时中心变了，要令：

于是：

在：

内：

因此：

如果改到外环：

则：

所以：

这里要提前指出一个非常重要的限制：

判断中心的奇点类型，必须用贴着中心的去心邻域展开。

上面外环展开有无限多个负幂，但中心 实际上只是一阶极点。你不能拿远离中心的外环展开，判断中心附近的奇异性。

4.3 / 07 · 第93—94页

复合三角函数的罗朗展开

还是先换中心：

则：

利用正弦加法公式：

代入基础展开：

所以：

成立范围：

因为正弦、余弦的基础展开对任意有限输入都成立，而这里唯一排除的是 。

这道题训练的是：

不需要用罗朗系数积分公式一项一项去积。

4.3 / 08 · 第94—96页

贝塞尔函数与系数的两种表示

教材研究：

其中 是实参数。

它在整个去心平面解析，因此可以展开成：

这道例题的目的，是展示：

同一个罗朗系数，既能通过积分得到，也能通过相乘后的同次幂合并得到。两种结果相等，就产生特殊函数的表示公式。

方法一：用系数积分公式。

单位圆参数化：

而：

所以：

这里参数化后，前面的 已经被 中的 抵消。对照教材中第 94 页时，这一行应使用 。

把指数拆成余弦和正弦：

其中正弦积分为零。原因是作：

后，被积函数变号，因此积分等于自己的相反数。

于是：

方法二：拆成两个指数级数相乘。

分别展开：

两项相乘产生的幂次是：

要找 的系数，就令：

当 时，，于是：

这个函数被记作：

也就是整数阶第一类贝塞尔函数。

负指标满足：

因此：

再利用罗朗展开的唯一性，把两种系数表示对应起来：

教材最后说 关于 的幂级数收敛半径为无穷大。看相邻非零项的比值：

就能理解这个结论。

这一大段到底要学成什么样？

• 必须理解：合并同次幂时，令 。
• 应当理解：同一个系数的两种表示为何可以相等。
• 可以暂缓熟记：贝塞尔函数的积分式和完整系数式。

它出现在这里，是给后面的数学物理问题准备特殊函数，同时演示罗朗展开的用途。做本章普通有理函数展开、奇点分类题，不需要先把贝塞尔公式背熟。