4.4 / 01 · 本节应用

主部与孤立奇点的三种类型

第 96—97 页：先把“主要部分”这个术语说清楚

在贴着中心 的去心邻域：

中，设：

教材把负幂部分：

称为主要部分，也常叫主部。

非负幂部分称为正则部分。

这里的“主要”是在说：它决定中心附近的奇异性。

分类规则只有三条：

下面把负幂系数的位置画出来：

对极点，还要找最低的非零幂次。

例如：

是三阶极点。

它只有两项非零负幂，但阶数是 3。

4.4 / 02 · 第97—98页

可去奇点与有界判别

假设中心 原来没有定义，或者取值不对，但：

没有负幂项。

那么只要补：

它就成为在 解析的函数。

所以叫“可去”。

教材例子：

在 处原式没有定义，但：

没有负幂项，因此：

教材中随后给出两个非常实用的等价条件。

在已经知道 是孤立奇点的前提下：

也等价于：

做题最方便的往往是求有限极限。

例如：

所以 可去。

但“有界”必须是在整个复去心邻域有界。只沿实轴看见有界，不能直接套定理。

教材证明有界条件时，核心是估计负幂系数。

取一个很小的圆：

若 ，则对 ：

让 ，就得到：

所有负幂系数都消失，因此可去。

这段证明的用途：解释为什么“有界”足以排除所有奇异负幂。会理解这一步即可，不必首次就熟练复现全部积分估计。

4.4 / 03 · 第98—100页

极点阶数与零点抵消

教材的等价条件是：

其中：

也就是说，已经把所有能抵消的零因子抵消完，分母最终还剩：

因此，判断商函数时最实用的规则是：

设：

则：

于是：

这就是为什么前面必须学零点阶数。

例如：

所以：

虽然原式分母是 ，但分子抵消了一阶。

再例如：

因此：

不要只看分母上的指数。

教材还给出：

因为：

等价于：

一个是分母中的 阶，一个是分子中的 阶。

实际判断中，还有两个好用的极限形式：

以及，在孤立奇点前提下：

这里复数的“趋于无穷”指模趋于无穷，要求沿任意趋近方向都如此。

仅仅发现某条路径上函数变大，还不能判断为极点。

4.4 / 04 · 第100页

本性奇点与极限判别

本性奇点的定义是：

典型例子：

因此：

从极限角度看，在孤立奇点前提下：

对 ：

沿正实轴 ：

沿负实轴 ：

两种行为不同，既不能补成一个有限值，也不可能沿所有方向都趋于无穷。

所以是本性奇点。

这也说明：

本性奇点附近也可能无界。判断极点要求更强：整个复变量极限的模都趋于无穷。

4.4 / 05 · 第100—101页

含正弦因子的分式分类

教材函数：

先找有限候选奇点：

然后逐个判断，每个点只关心在这个点会不会变成零的因子。

在 ：

有一阶零点，分母 有二阶零点，其余因子在 非零。

所以剩下：

阶极点。

也可以按教材写成：

括号补好后在 解析，取值是：

因此：

在 ：

只有分母 为零，分子：

因此：

在 ：

分母 为零，分子非零。

因此：

这类题的实际书写可以很短：

分子在该点的零点阶数为 ，分母为 ，故为 阶极点。

前提是你确实把 判断对了。

4.4 / 06 · 第101页

复合余弦函数的本性奇点

候选点：

直接代入余弦展开：

负幂项无限多个，而且是在：

中成立的局部展开。

所以：

注意：只出现偶数负幂，也照样是无限多个。

4.4 / 07 · 第101页

乘除规则与取倒数的条件

这一段想告诉你：

一个本性奇点，乘除有限阶的零因子或极点因子，通常仍保留本性。

准确地说，设 在 有本性奇点， 在 附近是解析函数且不恒为零，或者只有一个有限阶极点，那么：

在 仍为本性奇点。

例如：

乘 只是把幂指数整体移动三格，无限多个负幂不会因此变成有限个。

为什么这个结论成立？

如果乘上有限阶因子以后，函数只剩可去奇点或有限阶极点，那么再除回这个有限阶因子，原来的 也只能有有限阶的奇异性，与本性矛盾。

但是，教材接着谈“本性奇点取倒数”时，需要特别注意：

否则，倒数会引入一串其他极点。

反例正是前面出现过的：

它在 是本性奇点，但：

在：

有无穷多个极点。

所以倒数在 是非孤立奇点，不能直接称为孤立本性奇点。

这条也影响习题 16 中涉及倒数、分母本性函数的判断：先检查商在去心邻域是否解析，再谈三分法。

4.4 / 08 · 第102页

无穷远点与倒数变换

“研究 ”指研究：

时函数的行为，包括所有复方向。

教材采用代换：

于是：

定义：

然后：

在无穷远点是什么类型，就看 在 是什么类型。

下面移动 的距离，可以看到对应的 向原点靠近：

例如：

代换后：

所以：

再看：

代换后：

在零点没有奇异性，补值为零。因此：

正幂和负幂的角色，在无穷远点会反过来。

4.4 / 09 · 第102—103页

无穷远点的正幂判别

假设外部区域的展开是：

换成 ：

于是：

• 的正幂，变成 的负幂；
• 的负幂，变成 的正幂。

所以对无穷远点：

仍然要先满足：无穷远点是孤立的。

几个例子一起看：

特别值得记住：

在 是本性奇点，在无穷远点却可去。

奇点类型是针对某个位置说的，不能给整个函数贴一个固定标签。

4.4 / 10 · 第103页

有理函数在无穷远点的分类

设：

其中：

最高次项分别是：

当 很大：

因此：

教材的例子：

分子一次，分母二次，所以：

因此：

如果是：

则：

所以无穷远点是三阶极点。

这类题不用长除法算完整展开，次数已经足够回答类型与阶数。

教材还提到：

• 非常数 次多项式，在无穷远点有 阶极点；
• 在无穷远点有本性奇点。

比如 沿正实轴趋于无穷，沿负实轴趋于零，因此不能因为一个方向上变大，就判为极点。

4.4 / 11 · 本节应用

无穷远点的孤立性检查

教材定义无穷远点是孤立奇点时，要求存在某个 ，使：

也就是：

能不能画一个足够大的圆，把所有其他奇点都关在里面？

如果总有奇点跑到任意远的地方，无穷远点就是非孤立奇点。

例如：

它在：

有极点。这些极点可以离原点任意远。

所以：

同样：

在无穷远点也是非孤立奇点。

还有：

在：

有极点，这些极点也会跑向无穷远。

因此无穷远点仍然非孤立。

不要看见“极限不存在”，就立刻判本性。顺序必须是：