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10 复数收敛，就是实部虚部同时收敛

定义 是 。它说的是到目标点的距离越来越小，与从哪个方向来无关。用严格语言：任给 ，存在 ，使 时每个 都落在 内。

若 、，则

为什么成立？一方面每个坐标差不超过总距离；另一方面总距离不超过两坐标差绝对值之和。这恰好用到上一节的不等式。

两个对照例子 。而 在四个点之间循环，不收敛。即使 始终不变，也不能推出复数本身收敛。

若 ，则 ，理由是 ，不必追踪每次旋转的角度。若 且 ， 不收敛，因为相邻项距离 不趋零。

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11 无穷远点：模趋于无穷，方向可以乱转

复平面的 只有一个。定义

因此 、、、 都趋向同一个无穷远点；仅仅“无界”还不够，例如奇数项为 、偶数项为0的序列无界，却不趋于 。

最实用的换元是

（最终各项非零）。无穷远点的邻域写成 ，在球面上对应围绕北极的一小块。

黎曼球面要理解到哪一步 从球面北极向平面作投影，每个有限复数对应一个非北极点；模越大，球面上的点越靠近北极。把北极补上，就补上了 。第一轮无需计算投影坐标；要会把“研究无穷远”换成“研究 在零附近”。第四章判断无穷远点的奇性会真正用到它。

运算边界 是延拓记号，、、 不由这些规则决定。遇到这种形式要回到具体极限。