数学物理方程篇·第四章 / 4.4
半直线的正弦余弦变换与边界项
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15 定义与反演：这里的2除π不能省
对，定义
相应反演为，余弦版本同理。
正弦对应奇延拓，适合零函数值端点；余弦对应偶延拓，适合零导数端点。有非齐次边界时，也可保留分部积分产生的边界项直接处理，并非总要先齐次化。
图 P4-8 正弦对应奇延拓，余弦对应偶延拓图中例子在原点值与一阶导数均为零，两种延拓都与相应齐次条件相容。
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16 二阶导数的边界项，现场分部积分两次
在无穷远相关项消失的条件下，
以余弦为例：第一次分部积分给，第二次积分的端点正弦为零，余下。正弦版本则在第二次积分留下。
给时选正弦，给时选余弦，常能把已知边界直接带入。 两条公式是本节必须会重建的核心，不能把它们都写成全直线的乘子。
图 P4-9 半直线的二阶导数变换必须保留端点项全直线的导数乘子不能直接搬到半直线；非齐次边界通过端点项进入像ODE。
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17 原书例3：端点给定Q，像函数就有一个常数源
原题，，初温零，，无穷远温度与导数趋零。令，则
后一种写法避免在看到假奇点，也方便先反演高斯再对时间积分。于是
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18 把原书积分改写成可直接检查的误差函数形式
定义、。令，上一解等价于
对求导，两项中的指数导数抵消，得到，所以边界导数确为；固定、时解趋零。
时本解为负，是题设正温度梯度的结果；沿方向的导热流为。不能因为“加热应该为正”就擅自把题设改成。若改用向杆内输入热流，应先写，再代入。
图 P4-10 正温度梯度与向杆内输入正热流的符号不同温度曲线斜率为正，热量沿温度降低方向流动；题设Q的正号不代表向杆内加热。
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19 给定端温时用正弦变换，反演出边界响应核
零初温、时，满足。积分因子解出再反演，得到
这是原书习题1(3)要求的正弦变换路线。后面用时间拉普拉斯会得到同一个核，方法不同但原问题相同，正好互相检查。
核式先对成立；边界应取的极限。不能先把分子置零后宣布边界温度为零，因为核同时集中到，换极限与积分需要判断。