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05 差商为什么比实函数要求强

复导数定义为

是复数，既能沿实轴，也能沿虚轴或曲线趋零，所以差商必须沿所有方向趋同一个值。

可导的正例 ，差商为 ，不依赖路径，故处处可导。不可导的反例 ，差商为 ，沿实轴等于1，沿虚轴等于 ，处处不可导。

教材 的例子同理：沿实方向差商为1，沿虚方向差商为 。实常数 时处处不可导； 时恰好变回 。

必须理解的意义 复可导时

前一章已经知道“乘同一个复数”代表统一的旋转和缩放。因此局部不同方向的变化必须协调，不能在水平方向伸一倍、竖直方向伸三倍还称作复可导。 时一阶变换退化，不能据此谈保持角度。

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06 某一点可导，与某一点解析隔着一个邻域

在 可导只问 一个点的差商。在 解析 要求存在整个小圆盘，里面每一点都可导。在区域 内解析，要求 中处处可导。全平面解析也叫整函数。

典型反例是 。在0的差商为 ，所以 ；但在非零点不满足下一节的柯西—黎曼条件。因此它只有一个可导点，处处不解析，包括0也不解析。

题目问法决定答案 “求可导点”允许得到孤立点或一条曲线；“求解析域”必须得到开集，不能把一条线或两个点称作解析区域。

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07 导数运算法则与定义域一起写

确认可导后，和差、积、商、复合的求导法则与实变量相同。商法则仍需分母不为零；反函数法则需所选局部反函数有意义且原函数导数不为零。

例如

教材假设 。若 ，有限平面需排除 ；若 ，则 ，它是一次函数，全平面解析。这种边界情况不能照抄 。

第一轮不必反复证的部分 常数、幂、多项式的求导可由差商和二项式公式证明一次。之后用运算法则，并主动标出例外点。真正的新难点是含 、 或直接以 给出的函数，应转向下一节。