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01 从一个平面映到另一个平面
复函数 的输入和输出各有两个实坐标。写 、，就相当于两个实二元函数：
例如 给出 、。 给出 。 也确实是复函数，只是它的值都落在非负实轴上；“复函数”不代表“一定含虚数值”，更不代表“一定解析”。
单值与一一不是同一件事 单值说每个输入只给一个输出。 是单值的，但 与 都映成1，所以在全平面不是一一映射。求逆时出现平方根的两个值，正是这个原因。教材中的“多值函数”可先理解为一个输入对应多个候选值的关系；要讨论解析性，通常必须先选单值分支。
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02 求像集：代数消元与模角变换各有用途
对 ，直线 满足 ，消去 ：
所以它变成开口向左的抛物线。 时不能除以 ，应单独代入：，像为非正实轴。类似地， 变为开口向右的抛物线。
如果原集合已经由半径和角度描述，就用极坐标。教材的上半圆环
经平方后满足 、，像为沿正实轴割开的圆环。正实轴不能补回去，因为取得那里的值要求原点在被排除的实轴上。
图 2-1 平方映射使半径平方、角度加倍半径平方：ρ=r²；角度加倍：φ=2θ。
做题模板 先写变换关系，再保留所有参数范围，消元或变换模角，最后检查是否漏点。只求出一个曲线方程而不检查参数覆盖范围，可能把半条曲线写成整条。