第五章学习讲义

5.1 · 教材108—112页；补充对应习题138—139页

01 留数就是负一次幂系数，与奇点阶数不同

设 是孤立奇点，去心邻域内有罗朗展开

沿该邻域内包围 一周的逆时针小圆积分。第三章已算过： 的整圈积分只有 时不为零，值为 。因此

定义 。记号可以读作“函数 在点 的留数”。它不是 点的函数值，也不是极点阶数，更不等于负幂部分所有系数之和。

两个必须对照的例子 有二阶极点，但留数为0； 有本性奇点，却有留数1。前者积分为0，后者整圈积分为 。所以“留数为零”不能推出可去奇点，“本性奇点”也不妨碍使用留数定理。

这段定义必须理解：它把第四章的展开与第三章的积分接上。以后具体计算往往不用真的写出完整罗朗级数，但所用简便公式都在提取同一个 。

5.1 · 教材108—112页；补充对应习题138—139页

02 留数定理：先列点的位置，再把内部贡献相加

若 是正向简单闭曲线， 在曲线及内部除有限个孤立奇点 外解析，并且曲线上没有奇点，则

正向即逆时针。顺时针一周要整体加负号；曲线绕多圈或有自交时，要用相应绕数加权，不能无条件仍把每个点算一次。第一轮题目通常给简单闭曲线，按此版本即可。

证明的主线与第三章挖洞相同：在各奇点周围挖互不相交的小圆，外边界积分等于这些小圆的逆时针积分之和；每个小圆积分正好是 乘该点留数。无需在整个大区域写一个共同的罗朗展开。

每题先写这四行 围道和方向；全部候选奇点；哪些真正留下奇点、哪些在内部；内部各点的留数。最后才相加。若点恰在线上，先停止套公式，判断题目是否另行规定主值或绕行。

5.1 · 教材108—112页；补充对应习题138—139页

03 一阶极点：消掉一个因子，或用分母导数

若 是一阶极点，

若 ， 在 附近解析，、，则更方便：

理由是 。若 ，该点可能抵消成可去点，公式给0仍可用于解析延拓后的留数，但不要再称它为一阶极点。若 ，此简式不能直接用。

例题 ，在 的留数为 ，在 的留数为 。同一函数不同点要分别代入。指数分母同理： 在每个 都是一阶极点，留数均为1，因为分母导数在那里等于1。

5.1 · 教材108—112页；补充对应习题138—139页

04 高阶极点：先认准阶数，再决定求导或展开

若 为 阶极点，写

则

因为 的泰勒展开里，第 次项除以 后恰好成为负一次幂。二阶极点求一阶导；三阶极点求二阶导再除2；阶数高时可直接展开到所需项，未必硬求许多次导数。

完整示范 ，令 ，所以留数为 。这与 中取一次项完全一致。

先约掉再判阶 在0处，分子有二阶零点、分母有三阶零点，实际只剩一阶极点。若一眼看见分母三次方就开始求二阶导，会白做许多计算。

5.1 · 教材108—112页；补充对应习题138—139页

05 教材例1：同一个和式，在不同点只看奇异部分

教材取

在 ，第一项解析，留数为0；第二项留数为 。故 。

在 ，第二项解析，不参与留数。第一项是三阶极点，用分子二阶导：

这里不应把整个和式统一乘 后展开一大堆。解析项在当前点留数为零，可以先删掉。

5.1 · 教材108—112页；补充对应习题138—139页

06 教材例2：正切有无穷多个极点，但每条有限围道只数内部

的极点为 ，均为一阶极点，其留数

在 内没有极点，所以积分为0。在 （ 为正整数）内，有 ，共 个，曲线上没有极点。因此

这题训练的是“全体奇点可以无穷多，但当前闭路内必须能逐个有限计数”，以及 求导带负号。

5.1 · 教材108—112页；补充对应习题138—139页

07 本性奇点不必全展开：只追踪能凑成负一次幂的项

教材例3为 。展开 只含奇数负幂，五次方仍只含奇数负幂，乘 后只含偶数幂，根本不可能出现 。故0虽是本性奇点，留数却为0，绕单位圆积分为0。

这个判断也可用奇偶性： 是奇函数，乘奇函数 后为偶函数，罗朗展开只含偶次幂。先看结构，再展开，能省去大量乘法。

教材例4为 。直接只看最低次项：

所以 ，留数为 。单位圆只包围0，不包含其他 ，积分为 。这里 表示被 的常数倍控制，首项已经足以求出留数。

5.1 · 教材108—112页；补充对应习题138—139页

08 无穷远点的留数：变量变换还有一个微分因子

原书习题2把第四章的无穷远奇点接到留数。定义相对于无穷远点的正向，是平面上一条顺时针大圆，于是

负号来自 、。无穷远留数不是简单求 在0的留数，微分因子不能漏掉。若 在大 区域的罗朗展开含 ，则无穷远留数为 。

若扩充平面上只有有限个有限孤立奇点和一个无穷远孤立奇点，那么全部留数（包括无穷远）之和为0。例：，有限留数1，无穷远留数 ； 在无穷远有极点，但留数为0。留数仍不能直接说明奇点类型。

掌握边界 正文最常考有限点的三种算法：一阶极限、商的分母导数、高阶提取。无穷远公式主要服务原书习题2和绕大圈的快捷计算，第二轮再熟练，但应先知道多出的 为什么存在。

5.2.1 · 教材112—115页

09 先把一个完整周期变成单位圆一周

对 ，只要原积分有意义，令 。必须同时替换三样：

于是积分变成单位圆逆时针的有理函数闭路积分。 是微分带来的，不能漏掉；它可能引入0点的候选奇点，也可能与化简后的分子消掉，必须看最终表达式。

若积分区间是 或 ，先利用周期与对称性补成整圈，写清倍数。不可不说明就把半周期直接当成单位圆一周。含 的表达式不一定关于 对称，更要实际检查。

5.2.1 · 教材112—115页

10 教材例1：泊松型积分的两个互为倒数的极点

求

代换并化简：

候选极点是 和 。由于 ，只有 在内。其留数为 ，所以

这题应能不看答案完整重算一次，尤其检查化简时 因子如何抵消。若题设改为 ，内部点交换，结果为 ； 时原积分在 发散，不属于同一普通积分公式。

5.2.1 · 教材112—115页

11 分子有 cos mθ：先合并成指数，避免凭空增加极点

教材例2求 ， 为正整数。原被积函数关于 对称，半周期积分是全周期的一半。

先计算全周期复积分

分母为 ，只有 在内；解析分子 不会在0引入负幂。去掉外面的 后，留数为 。故 ，为实数。

因此原积分为

全周期正弦部分为0，也可直接由对称性核验。若直接代入 仍能做，但会引入0处高阶项；采用指数法是为了少算这些抵消项。

5.2.2 · 教材115—118页

12 大圆弧：函数趋零还不够，先乘上弧长

若大圆弧 的角跨度固定为 ，曲线上 ，则

所以 在相应角域内统一成立，是大弧消失的充分条件。教材引理1就是这个结论。有理函数分母次数至少比分子高2时，，乘弧长 后趋零。

最简单的反例 ，但半圆弧积分恒为 ，不消失；因为它只有 ，乘弧长后为常数量级。不能把“函数很小”偷换成“它沿长曲线的积分很小”。

5.2.2 · 教材115—118页

13 小圆弧：一个简单极点留下角跨度乘留数

若 ，沿小圆弧 、，则

一阶极点时 。证明拆成 与余项，余项模为 ，乘弧长 后消失。若 ，整段小弧消失。

上半平面绕开实轴点 沿实轴从左往右，在点 上方挖一条小半圆，参数角由 降到0，是顺时针，贡献 。小弧是在辅助等式左边的哪一项，必须先写出来，最后移项才决定目标积分中出现什么符号。

不要说“曲线上极点算一半” 不是把留数定理中的点机械地算半个，而是先绕开，使定理有合法路径，再精确计算小弧极限。高阶极点的小弧一般还可能发散，这个一阶极点公式不能直接照搬。

5.2.2 · 教材115—118页

14 约当引理：指数在上半平面衰减，端点也要控制

对 ，。上半平面衰减，下半平面增长，所以常把 闭合到上方。若上半圆上 ，约当引理给

与普通大弧估计相比，它允许 ，不必达到 。

证明主线要看懂端点 取 ，积分模不超过 。用 （）及对称性，积分上界可压到 。即使端点处指数模为1，整个端点小区间仍能被控制。

教材给出半平面下缘为 的较宽版本，把低于实轴的一小段圆弧单独估计；第一轮标准上半圆版本足以处理本章多数习题。若 ，改闭下半平面，方向通常顺时针，留数定理前变成 。

5.2.2 · 教材115—118页

15 辅助函数与围道要一起选：把目标放进一条完整等式

留数法没有一个包打天下的代换。先问目标能否成为 、 或 ，再问剩下的路径积分能否消失或换回同一个目标。

解答必须出现的一句等式 不是只写“由留数定理，答案为……”，而是先写 ，并交代每条辅助段的极限。你的主要得分点通常就在这些条件和符号上。

5.2.3 · 教材118—120页

16 全实轴有理积分的标准模板

设 ，约去共同因子后实轴没有极点，分母次数至少比分子高2。于是实轴两端绝对收敛。取实线段 加上逆时针上半圆（此处同一个字母 也常用于半径，具体解题可改记半径 ），有

大弧因次数差趋零，故

这里只加上半平面内的点。若闭下方，则曲线顺时针，应写 乘下半平面留数和；结果当然一致，可以选计算更少的一边。

半轴题先看奇偶性 若 偶，则 。若没有偶性，不能直接除2。若实轴有极点，先判断原积分是否存在，不能套这条没有实轴极点的模板。

5.2.3 · 教材118—120页

17 教材例3：三阶极点也只求一个系数

求

上半平面只有 ，为三阶极点；下方的 不参与当前留数和。消掉三阶因子后

所以

乘 得

大弧上 ，弧长 ，上界 。别因为有理函数次数明显就完全省掉说明，写这个上界很短，也能证明条件确实满足。

5.2.3 · 教材118—120页

18 普通广义积分与主值：对称截断不自动代表收敛

普通 要求在一个固定点拆开的左右两端分别收敛；若实轴有奇点，两侧也分别要求收敛。柯西主值则规定对称地取极限，例如

在0有奇点时，还要规定删除对称小区间 后的极限。取极限的方式属于定义，必须写清。

例如 ，但普通广义积分不存在。又如 的对称主值为0，而左右无穷端分别对数发散。留数围道自然给出某种对称截断时，要先检查它算的是普通积分还是主值。 上一模板因绝对收敛，所以两者一致；不能在缺少收敛检查时沿用这个结论。

5.2.4 · 教材120—121页

19 把 cos 和 sin 打包成指数，再取实部、虚部

设 ， 为实轴上实值的有理函数，无实轴极点，分母次数至少比分子高1。先算

这些有理函数的尾部配合振荡可保证两端相应积分收敛；若次数差只为1，可能是条件收敛，不能声称一定绝对收敛。上半圆用约当引理，得

此时 是余弦积分， 是正弦积分。这里强调 实值，是为了合法地把 原样移出实、虚部运算；若 本身复值，需另行拆分。

不要选 闭上半平面后指望自动衰减，因为 中还含 ，上方会增长。选择 的目的，就是只保留能衰减的那一支。 时不能依赖这个引理，回到有理积分的次数条件。

5.2.4 · 教材120—121页

20 教材例4的推广：二阶极点算出带参数的余弦积分

求 时

选 。上方唯一二阶极点在 ，留数为

因此 为实数，原积分即

全实轴正弦积分为0，既可由虚部为零看出，也可由奇偶性检查。取 就是原书例4；若题目改为 ，偶性使结果再除2。

5.2.4 · 教材120—121页

21 一个简单极点与半轴 x sin(mx) 型积分

先算 的

因为 的留数为 。若分子有 ，则 在 的留数为 ，因此复积分为 。