第七章学习讲义

7.1 · 教材169—172页

01 本函数、像函数，先认清两边的变量

拉普拉斯变换定义为

叫本函数，叫像函数。是时间等实变量，是变换后的复变量；不是换个字母，而是把整段时间行为通过积分编码后的新函数。

本书采用单边变换：只积分。讨论因果信号时把部分延为0，并用

表示单位阶跃。后面常把“时的1”和简写成同一对本函数，但遇到延迟时必须重新写清开关。

单个点的取值不会改变通常的积分，所以约定取1或都不影响普通拉氏变换；初值公式用的是右极限，不是随意指定的孤立点值。

7.1 · 教材169—172页

02 为什么要乘指数：先压住增长，再累积信息

把核分开：

负责衰减，负责振荡。即使本来增长或一直振荡，只要衰减足够强，乘积也可能可积。

例如，若为复常数，乘核后是。绝对值为，所以准确的收敛域是。

别把“能写出一个代数式”与“积分在此处收敛”混为一谈。 在很多点有意义，但作为的拉氏积分，仅在指定右半平面成立。超出那里可以讨论解析延拓，却不能再直接声称原积分收敛。

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03 存在定理：条件是充分的，不是所有函数的准入名单

教材采用“每个有限区间逐段光滑”和“指数增长型”作为方便的充分条件。后者指存在使充分大的满足；若从0到有限时间也有界，可调整写成对全部成立。

对，

因此在绝对收敛。每个更靠右的闭半平面都能用同一衰减函数控制尾积分，进一步得到在右半平面解析。

解题要掌握： 会写这一行比较估计，知道右半平面为什么出现，并在结果旁标收敛条件。证明“一致收敛推出解析”的完整技术可以第二轮再读；它的作用是保证后面对求导、移积分线等运算有根据。

这不是必要条件。例如在0附近无界，仍局部可积，有拉氏变换；在无穷远增长快于任何固定指数，对任何有限实部，正实积分都发散。不要用定理条件不满足就直接断言不存在，要检查实际积分。

当实数时，上式也给出。这个结论针对这里的普通函数；冲激的变换为1，属于广义函数范围，不能拿来反驳该结论。

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04 和傅里叶变换是什么关系，为什么要讲

令。固定一个足够大的，则

所以沿一条竖线看拉氏变换，就是看“乘过衰减权重的因果函数”的傅里叶变换。它解释了为什么常数、正弦等虽不绝对可积，仍然可以有拉氏变换，也解释了7.6反演公式为什么沿竖线积分。

掌握边界： 不会傅里叶变换也能先做本章的大多数计算题。此段保留是为了理解反演的来源；第一轮记住“加权以后做傅里叶，最后把权重还原”即可。

7.1 · 教材169—172页

05 从定义算指数、常数和幂函数

在时，

取得，。反过来读就是，默认，因果延拓时乘。

对非负整数，反复分部积分可得

更一般地，对实数，

在右半平面取连续对数定义。对实数，换元立刻得到伽马积分；对复可以用解析延拓论证，不能把复数换元后仍沿正实轴积分而不说明路径。

，，因此、。第一轮会用这两个值即可，不必先学完伽马函数理论。

7.2 · 教材172—176页

06 线性关系与四个三角双曲函数

由积分的线性，

逆变换也线性。利用欧拉公式把拆为指数，马上得到

取实数时，两式的收敛域为。双曲函数由实指数的和差得到

原书用表示。分母对应正弦余弦，对应双曲函数；分子也要配对，不能少掉。

例如的逆变换是，不是。这是最常见的查表丢系数。

7.2 · 教材172—176页

07 相似定理：压缩时间要付出一个比例

若，令，则

对应的另一种写法是

两个式子是同一换元，别把其中的挪错。限制是因为单边积分和因果方向不允许随便反转时间。

例如、：。把一个熟悉指数代进去，是检验缩放方向的最快办法。

若原收敛域是，新函数的收敛域变为。像平面缩放和时间缩放是反向关系。

7.2 · 教材172—176页

08 位移定理：时间上乘指数，像平面移动自变量

直接合并指数：

所以

若原收敛域是，新域为。极点也沿的方向移动。不要把误写成；取检查就能纠错。

这与后面的“延迟定理”不同：此处时间函数没有向右推迟启动，而是每个时刻乘一个指数。二者都会被有些教材称为第一、第二位移定理，做题时直接辨认动作最稳妥。

7.2 · 教材172—176页

09 像函数微分：对$p$求导，对应时间上乘$t$

在收敛右半平面内部，可以对求导：

因此

负号来自。这一步的导数变量是，不是。

教材中的两个直接应用为

如果出现，可以先把基本变换位移，再对求两次导；或者先求两次导，再把换为。这两种次序在这里相容。

7.2 · 教材172—176页

10 原书例1：$t^2\cos^2t$为什么先降幂

先用，把乘积变成线性和，再利用上一条：

算两次导数并合并，得到

方法比最后的长分式重要： 看到三角函数平方，先降幂；看到外面的，再对像函数求导。不要求背这个结果，应该能按路线重新算出。

7.2 · 教材172—176页

11 两种微分放在一起记，避免串公式

一个是把带进积分，另一个是分部积分。记忆时说出操作及变量，别只背“微分变乘法”这句话。

7.3 · 教材176—179页

12 本函数微分法：初始条件从边界项进入

若足够光滑、无内部跳跃，且满足相应可积增长条件，分部积分得

上端为0靠的是足够大的与增长估计；下端留下。再用一次，得到

一般阶为

普通导数公式不能无条件跨过跳跃点。 若在内部有跳跃，分段求导会丢掉跳跃贡献；应分段计算边界项，或把导数按含冲激的广义导数处理。后面的阶跃与冲激会让这个区别更直观。

7.3 · 教材176—179页

13 原书例2：一阶初值问题完整走一遍

题为。设，先变换每一项：

解代数方程：

逐项逆变换，得。最后检查：；。

这个方法自动处理初值，不需要先求通解再定常数。但初值若不是0，绝不能因为流程看起来简洁而漏掉它。

7.3 · 教材176—179页

14 原书例3：二阶初值问题

。代入二阶导数公式：

所以。检查，且。

如果初值变成，左边应是，所以解多出。先把这一行写对，后面的代数就不会把自由响应漏掉。

7.3 · 教材176—179页

15 本函数积分：累积一次，像端除以$p$

记。因为，由微分公式得到

再累积一次就是。这也等于与常数1卷积，后面会统一解释。

例如。不需要先把时间积分算完再变换；识别累积结构能直接省一步。

7.3 · 教材176—179页

16 原书例4：积分方程与RC电路

原式为

右边是的恒定电压，变换为，不是。设：

所以。代回可得；随时间增大电流衰减，积分电荷逐步承担电压。

物理描述保留的用途是帮助检查符号和时间尺度：指数必须衰减，时间常数是。只考运算题时不必深究电路推导，但应知道为什么常数输入变成。

7.4 · 教材179—182页及附表

17 延迟定理：整个函数一起向右平移

若，从才启动的延迟函数写成。变换时从起积分，再令：

反过来

这次时间上真的向右挪动，像端是乘指数；7.2的位移定理则是时间上乘指数、像端替换。指数里带还是带，一眼就应分清。

7.4 · 教材179—182页及附表

18 $h(t-a)g(t)$不能直接套成$e^{-ap}G(p)$

正确写法是把：

例如

所以变换为。若错写成，得到的是从0开始上升的延迟斜坡，原函数却在时跳到2。

再如：先写成，展开角度和，变换为

波形题的关键是启动时刻与相位是否一起移动。 原书习题1(17)(18)、2就是专门检查这个区别。

7.4 · 教材179—182页及附表

19 把分段函数写成阶跃：从“增量”拼起来

若从0到用，从起改成，则

后面的括号是切换时增加或减去的差值。多个切换点就逐次叠加。

原书例5是在、在：

这不是从起把整个函数关掉，而是从那时起减去继续增长的部分，留下水平平台。

矩形脉冲幅度、起点、终点则为，像为。画图时标开关点，点值选择不影响变换。

7.4 · 教材179—182页及附表

20 原书例6：阶梯函数如何变成几何级数

每隔增加，从的开始：

任意固定时间只有有限项不为0。变换后在得到

阶梯函数不周期，它是逐步累加；出现并不自动代表原函数周期。真正周期公式的分子是“一个周期的加权积分”，下一段会说明。

7.4 · 教材179—182页及附表

21 周期与反周期：附表中的两条重要公式

若上，把积分按周期拆开：

对有界逐段连续周期函数，就足够。若，同样推导把分母改为；这里是反周期，通常周期是。

以为例，周期为，一个周期内等于，因此