第二章学习讲义

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01 从一个平面映到另一个平面

复函数 的输入和输出各有两个实坐标。写 、，就相当于两个实二元函数：

例如 给出 、。 给出 。 也确实是复函数，只是它的值都落在非负实轴上；“复函数”不代表“一定含虚数值”，更不代表“一定解析”。

单值与一一不是同一件事 单值说每个输入只给一个输出。 是单值的，但 与 都映成1，所以在全平面不是一一映射。求逆时出现平方根的两个值，正是这个原因。教材中的“多值函数”可先理解为一个输入对应多个候选值的关系；要讨论解析性，通常必须先选单值分支。

2.1 · 教材24—27页

02 求像集：代数消元与模角变换各有用途

对 ，直线 满足 ，消去 ：

所以它变成开口向左的抛物线。 时不能除以 ，应单独代入：，像为非正实轴。类似地， 变为开口向右的抛物线。

如果原集合已经由半径和角度描述，就用极坐标。教材的上半圆环

经平方后满足 、，像为沿正实轴割开的圆环。正实轴不能补回去，因为取得那里的值要求原点在被排除的实轴上。

做题模板 先写变换关系，再保留所有参数范围，消元或变换模角，最后检查是否漏点。只求出一个曲线方程而不检查参数覆盖范围，可能把半条曲线写成整条。

2.2 · 教材27—29页

03 复极限要求所有路径一致

的意思是： 只要足够接近 ，无论从哪条路径来， 都足够接近 。形式为

与数列极限一样，它等价于实部、虚部这两个二元函数同时趋于相应值。

证明不存在 找两条路径得到不同结果。例如 （），沿实轴取 得1，沿虚轴取 得 ，故 时没有极限。

证明存在 只检查实轴和虚轴远远不够。例 ，在两轴上均为0，但沿 为 。正确证明通常要找对所有方向都有效的估计。例如

有时换极坐标看 后是否仍残留角度依赖，也很有效。

2.2 · 教材27—29页

04 连续：函数值与极限接得上

在 连续要求 已定义，并且 。极限本身不要求 点有值，这两个问题要分开。

多项式全平面连续；有理函数在原分母非零处连续。若原式在某点没有定义，即使约分后能补成连续函数，也要明确说“补定义后连续”。例如 在 无定义，补上值2后才连续。

连续不能推出可导 、 在全平面连续，但它们的复可导性受到更强限制。你可以把连续看成“点没有断开”，把下一节的复可导看成“所有方向的线性变化必须由同一个复数表示”。

无穷远极限 要覆盖模趋无穷的所有方向。 沿正实轴趋无穷、沿负实轴趋零，故在无穷远没有统一极限。不能只拿实变量结论 就推出复变量 。

2.3 · 教材29—31页

05 差商为什么比实函数要求强

复导数定义为

是复数，既能沿实轴，也能沿虚轴或曲线趋零，所以差商必须沿所有方向趋同一个值。

可导的正例 ，差商为 ，不依赖路径，故处处可导。不可导的反例 ，差商为 ，沿实轴等于1，沿虚轴等于 ，处处不可导。

教材 的例子同理：沿实方向差商为1，沿虚方向差商为 。实常数 时处处不可导； 时恰好变回 。

必须理解的意义 复可导时

前一章已经知道“乘同一个复数”代表统一的旋转和缩放。因此局部不同方向的变化必须协调，不能在水平方向伸一倍、竖直方向伸三倍还称作复可导。 时一阶变换退化，不能据此谈保持角度。

2.3 · 教材29—31页

06 某一点可导，与某一点解析隔着一个邻域

在 可导只问 一个点的差商。在 解析 要求存在整个小圆盘，里面每一点都可导。在区域 内解析，要求 中处处可导。全平面解析也叫整函数。

典型反例是 。在0的差商为 ，所以 ；但在非零点不满足下一节的柯西—黎曼条件。因此它只有一个可导点，处处不解析，包括0也不解析。

题目问法决定答案 “求可导点”允许得到孤立点或一条曲线；“求解析域”必须得到开集，不能把一条线或两个点称作解析区域。

2.3 · 教材29—31页

07 导数运算法则与定义域一起写

确认可导后，和差、积、商、复合的求导法则与实变量相同。商法则仍需分母不为零；反函数法则需所选局部反函数有意义且原函数导数不为零。

例如

教材假设 。若 ，有限平面需排除 ；若 ，则 ，它是一次函数，全平面解析。这种边界情况不能照抄 。

第一轮不必反复证的部分 常数、幂、多项式的求导可由差商和二项式公式证明一次。之后用运算法则，并主动标出例外点。真正的新难点是含 、 或直接以 给出的函数，应转向下一节。

2.4 · 教材32—35页

08 从两个方向推导方程，不靠硬背符号

设 在 可导。沿实方向令 ，得

沿虚方向令 ，得

实部、虚部分别比较，于是

这就是柯西—黎曼方程，简称 C-R 方程。第一行同号，第二行带负号；实在忘了，就重走两个方向。

必要性与充分性要分开 复可导必然满足上述方程。但仅有两个偏导等式，未必保证复可导。精确的充分条件是： 在该点作为实二元函数全微分存在，并满足 C-R 方程。课堂题最常用的方便条件是：四个一阶偏导在该点附近存在且在该点连续，再检查方程。

若 为多项式、指数三角组合且无分母异常，这个连续性条件通常自动满足。写解答时用一句话说明即可，不必制造冗长证明。

2.4 · 教材32—35页

09 为什么加上全微分就足够

全微分给出

其中 。代入 C-R 方程，把两式合并成

除以 ，余项的模趋零，就得到 。你需要看懂的关键是“两个实线性式合成了乘一个复数”，不是记忆四行余项记号。

一个防止误用的例子 定义 ，非零处

原点处 、，C-R 成立。但沿实轴差商为1，沿 差商为 ，故不可导。原因正是不能只用“偏导存在并满足方程”替代全微分条件。这是概念校验题，不要求第一轮背函数的构造。

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10 标准计算题的四步：拆、求、解、分清

以 为例，这是教材的主要示范。

1. 拆出 ，两者一阶偏导连续。
2. 求导：。
3. 解 C-R：、，得 和 。
4. 在这两个点可导，导数用 ，分别为0与 。可导点集合没有任何开圆盘，所以处处不解析。

不要省略最后一句 只写“满足 C-R 的点是……”没有完整回答解析性问题。若方程在一个开区域处处成立，且偏导连续，才可说该区域内解析。

2.4 · 教材32—35页

11 恒为常数的证明与极坐标形式

若解析函数 的实部为常数，则 ，由 C-R 得 ；在连通区域上 为同一个常数，故 为常数。虚部恒定同理。

若 恒定，先处理恒等于0的情况；非零时由 求偏导，结合 C-R 得一个行列式为 的齐次方程组，推出 ，所以仍为常数。若 与 都解析，把它们的 C-R 方程并列也会得到所有一阶偏导为零。这里“区域连通”保证各点的常数一致，不能不加解释地在分离集合上套用。

当 、 时，C-R 可写

这是链式法则换坐标的结果。适合对数、幂和由极坐标给出的题；原点不能直接代入含 的式子。第一轮优先熟练直角坐标，极坐标公式知道用途并能查用即可。

2.5 · 教材35—44页

12 指数：实部控制长度，虚部控制角度

定义

所以 ，一个辐角是 。指数全平面解析，导数仍为自身，处处不为零，并满足 。

复指数的新性质是虚周期：

因此求 ，先比较模 得 ，再比较角 。

例题 的全部解是 。如果 则无解。不要写成一个主值后就停下。

2.5 · 教材35—44页

13 三角与双曲函数：从指数定义统一处理

复变量没有实三角形，故采用指数定义：

教材的 分别就是 。四个函数均为整函数，导数分别是 。

指数定义立刻给出 、。所以复平面上 、 都没有实变量中的上界1，例如 。

该熟练的恒等式 ，，以及加法公式照常成立。这些是代数恒等式，不是大小估计。 不等于 。

2.5 · 教材35—44页

14 拆实虚部、求模与求零点

由加法公式可得

这两条优先掌握，会用于求值、找实数取值曲线和估计函数模。例如

故 取实数值等价于 ，即 或 。是实轴与若干竖直线，不只是实轴。

零点怎么找 不猜测有没有额外虚根，直接用指数：，所以 。其他三个为

因此 在余弦零点以外解析， 在正弦零点以外解析； 同样排除各自分母零点。找解析域时，“名字像初等函数”不能替代查分母。

2.5 · 教材35—44页

15 对数全部值：把指数方程反过来解

求 ，令 ，比较模、角得到

沿用教材：大写 表示全部值，小写 表示取 的主值。某些其他教材大小写约定相反，做题前以题目约定为准。为避免与实对数混淆，本讲义谈解析分支时也用 。

例题 ，主值为 ；

零没有复对数，因为指数没有零点。即使正实数也有无穷多个复对数，例如 。

主值不能无条件套实对数法则 ，而 。多值对数的乘法公式要按全部可能值的集合来理解；固定主值则可能差 。

2.5 · 教材35—44页

16 对数分支：割开一条射线的目的

当 绕原点一圈，连续跟踪的角度增加 ，对数增加 ，不能回到原数。因此在整个去心平面上不能选一个处处连续、单值的对数。

把非正实轴删掉，规定 ，就得到开域

在 内解析，且 。其他分支 导数相同。也可沿正实轴割开，选 ；分支不唯一，必须写范围。

主值存在与主值解析是两回事 按本书约定，负实数可以赋主值角 ，所以 有定义；但从负实轴上下两侧逼近，角度极限为 与 ，主值函数在那里不连续，自然不解析。说“主值函数在负实轴割开的平面解析”时，解析域是严格不含那条轴的开域。

2.5 · 教材35—44页

17 一般幂：先声明用哪个对数

对 ，定义全部值

展开成 后，才判断重复多少次。非零底数时：整数指数单值；既约有理数指数 有 个值；无理实数指数有无穷多个值；虚部非零的复指数也有无穷多个值。

例题 代入 ，得

全部值居然都是正实数。若问主值，才取 得 。

例题 得 。它和第一章方根公式一致。但 不可未经分支说明直接写成 ，例如使用主平方根时 就出问题。

2.5 · 教材35—44页

18 固定分支后的求导与指数记号的区别

在某个有解析对数 的区域内，定义 ，则

也常写成 ，但两边必须采用相容的同一对数分支。

本课程把 固定解释为单值指数函数。一般幂 若不选底数的对数，则可能多值。特别是教材指出：把 当指数函数值，只得一个数；把它当“底数 的一般幂、所有复对数都参与”会得到多个值。这是记号约定的提醒，做题时按上下文选定定义，不要把这两种约定混用。

2.5 · 教材35—44页

19 反三角函数：应会推一种，不必硬背一长表

为解 ，令 ，就把三角方程变成二次方程：

再解指数方程，得全部反正弦值

根号的两个值与对数的无穷多值共同产生全部答案。若根号本身已按全部值理解，就无需再重复写一个独立的正负号。

实际例题 求 。。两者互为倒数，取全部对数得到

实数范围没有解，复数范围有无穷多解。

其他反函数可同样推导：；（）。双曲反函数也转化为对数和根号。第一轮要求掌握代换路线与多值来源；除非作业专门考，不必背下每个反双曲函数公式。这里讲它，是为了防止把复反三角函数误当成实函数主值的一次代入。

2.6 · 原书习题45—47页

20 原书习题怎样分配精力

第一轮优先5—7、10、13—14与17的对数幂部分；这几类和后续积分最直接相连。原书第8题理论证明和第9题坐标转换建议第二轮补齐。反函数的大量特殊值计算可在掌握 的方法后按需练习，不必把一整页公式都当成开课门槛。