数学物理方程篇·第二章学习讲义

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01 把长推导拆成五个必须完成的任务

面对或，别先背最后答案。按下面五步写：①检查并齐次化边界；②设乘积解；③解空间特征值问题；④叠加允许的模态；⑤代入初始条件求系数。最后把方程、边界、初值逐项检查。

“分离”只产生特殊解；“叠加＋展开”才让它适应一般初始数据。绝大多数初始形状不是一条正弦，所以一个通常不够。

必须掌握的程度： 看到一道题，先圈出方程、区间、两端边界、初始数据。能判断它属于波动、热传导还是稳态问题，才进入计算。

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02 固定端弦：为什么要先假设乘积

原书2.1研究

设非零特殊解，代入得到。在能除的地方，

左边只依赖，右边只依赖，在乘积区域内恒等，只能都是同一个常数。得到

负号是方便的约定，不是证明。 换另一种符号也能做，只要后面一致。某些点为零并不意味着乘积法失效；推导后验证所得函数满足原方程，不能把“除以零”当成额外解。

2.1 · 教材237—239页

03 边界只限制空间因子：必须保留非零解

由，若不是恒零函数，就有。因此先解

这叫特征值问题，教材也称固有值问题。允许非零解的叫特征值，相应叫特征函数。对任何都成立，但它给出的恒零，无法筛选参数，所以必须排除。

“边界条件决定特征值”意味着方程和边界一起决定；只看，任何都有解，还谈不上离散频谱。

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04 把λ的三种符号算一遍，后面才有资格省略

时，，两端为零迫使。

时，。左端得，右端得，仍只剩零解。

时，。左端得；为使，右端要求。于是

在这组正弦里只是零函数，不能当作一个模态。负整数给同一特征函数的倍数，不必重复列出。

2.1 · 教材237—239页

05 四种常见端点组合，别把所有题都写成正弦

下面均指，；D表示，N表示。

表不是凭记忆选的：把代入两个端点，一两行就可重建。N—N的常数模态对绝热杆平均温度、自由端弦整体平移都很重要，不能丢掉。

2.2 · 教材239—242页

06 时间方程给频率，初值给振幅

对固定端第个模态，令、。时间方程为，因此

代入：。求一次时间导数再令：。所以

初速度系数必须除以。 你也可以记，把时间因子写成，这样更不容易漏。

2.2 · 教材239—242页

07 系数公式就是正交投影，把积分算出来看

正弦在上满足

例如，两边乘再积分，其余项消失，只剩，于是得到系数。正交性让无穷多个未知系数彼此分开。

这和向量在互相垂直的坐标轴上投影是同一思路。后面有权时，积分改成；如果特征函数没归一化，分母要保留模平方。不能把每一道题的系数都写成。

2.2 · 教材239—242页

08 完整小例题：初位移和初速度各激发什么

设、。根本不必做积分：它们已经是特征函数展开。初位移只激发第一模态，初速度只激发第二模态，

检查：第一项初速度为零；第二项在位移为零，时间导数系数是；两项在端点都为零。这样查一遍，比盯着整条级数看更有效。

2.2 · 教材239—242页

09 抛物线初形状：把教材习题3完整走通

弦端固定，初速度零，初形状顶点为，故。分部积分两次可得

因此

中点对称使偶数模态系数为零。衰减意味着少数低频就能较好近似形状，但精确初值仍由无穷级数表达。

2.2 · 教材239—242页

10 驻波与行波怎样联系，哪些物理量要会算

单个固定端模态是驻波：的节点位置固定，时间因子只改变幅度与符号。内部有个节点，允许波长为，角频率，普通频率为

时，基频。别把角频率和赫兹频率混用。恒等式说明驻波也可看成两个反向行波的叠加。

相位表达中，相位需兼顾象限，可用。第一轮会算频率、节点、两个初始系数即可，不必把相位公式当主线背诵。

2.2 · 教材239—242页

11 形式级数何时真是解，端点不相容怎么办

每一项满足方程，不自动保证无穷和可以逐项求两次导数。教材给出足够光滑、并与固定端相容的一组条件来保证经典解；实际做题应区分：先构造级数，再根据数据光滑性说明收敛及求导是否合法。

本章大部分练习，写出特征展开并验证条件是主要训练。对于分段光滑初值，初始级数在内部连续点恢复函数，在跳跃处一般恢复左右极限平均；不能声称处处一致收敛、每处都满足经典导数。

如果而右端要求固定，则光滑解在角点不能同时满足和该初速度。仍可在适当较弱意义下讨论内部级数解，但要指出角点问题。讲这里是为了防止“公式算出了，所以一定处处光滑”的误判；第一轮不要求证明泛函分析结论。

2.3 · 教材242—245页

12 极坐标把圆周边界变成r等于常数

在二维极坐标，

设，乘得

完整圆周要求及导数周期匹配。允许，。给常数，给。角向同一个特征值有两个独立函数，这是周期边界下可能出现重特征值的具体例子。

2.3 · 教材242—245页

13 径向欧拉方程：圆内、圆环、圆外保留项不同

时试，得到，所以。时由得。

因而环域中的展开应写成

余弦与正弦的径向系数要独立；不能误用同一组去限制一般解。

2.3 · 教材242—245页

14 圆内狄利克雷问题：角傅里叶系数乘径向因子

要求、、且原点有界。先展开

其中也用上式余弦公式取。那么

例如边界，解为。越靠中心，高角频率衰减越快；中心值是边界平均值。

2.3 · 教材242—245页

15 泊松公式是同一串级数的紧凑写法

令。利用几何级数可以求和：

把傅里叶系数代回上节解式，合并余弦差角，得到

核在时为正，总积分为。所以圆内温度是边界温度的加权平均；时权重均匀，靠近边界时集中到附近角度。本章的泊松积分公式解拉普拉斯方程，不要和非齐次的泊松方程混为一谈。

做题时边界只有几个三角项就直接写有限和；边界复杂、要研究平均和极限时才用积分式。第一轮理解核从级数求和而来即可，复杂积分不必强行算闭式。

2.3 · 教材242—245页

16 圆环和扇形：同一方法怎样改

圆环常数边界、只含角向零模态，所以

圆环非恒定边界，则每个分别解正负幂系数的二元方程。不要套圆内公式删掉负幂。

扇形、两直边时，角向问题改成，得到及径向幂。圆弧给，则

这一节直接服务原书习题4、5(6)(7)、8。直边的条件替代整圆周期条件，所以角频率不必是整数。

2.4 · 教材245—249页

17 为什么需要一般理论：空间方程未必是正弦方程

变系数、径向坐标、换热边界会给出其他空间方程。原书把时间和空间算子分开，写作。代入，同样能得到两个常微分方程；但空间方程可能是

理论的作用是告诉我们：在适当条件下，仍可用特征函数展开，且能用正交投影求系数。不需要每个特征值都能用初等公式表示，数值求根也能继续解题。

本节记号表示展开的权函数，不必是物理密度。看清定义，别因前章用过密度符号就混用单位。

2.4 · 教材245—249页

18 化成自伴形式：把一阶导数装进一个乘积导数

希望写成

对上节方程，取

在的设定下，乘原式以就得到。检查，才能确认没有乘错。

若原式为，则权应为，不是一律。允许选择公共正常数倍，不改变系数投影的结果。

原书用表示这里的，用表示权；这里只换以免与波数混淆。 正则问题通常要求在闭区间为正、系数足够连续，加自伴边界。奇异端点需要额外判断，不能把正则结论原封不动推广。

2.4 · 教材245—249页

19 两个变系数例子：权不是装饰

例一：，。取，则，于是

两特征函数相乘后再乘权，指数恰好消掉，恢复正弦的正交性。若漏权，通常不正交。

例二（原书例2）：，，两端零。乘，得到，所以、、。再令，方程成为，。因此

2.4 · 教材245—249页

20 自伴边界与奇异端点：需要会判断到什么程度

常见分离边界可写为、，，以及D或N端点。符号来自外法向：左负右正。周期边界需要函数及通量匹配；若，可写成、。

径向方程如在是奇异的。圆内的有界性排除或，相当于从物理区域选择允许分支；不是在原点随手再加一个任意的。角向零模态的圆内常数解明明可以非零。