数学物理方程篇·第一章学习讲义

1.1 · 教材205—209页

01 一个未知函数依赖多个变量，求导时先说固定谁

弦的位移写成：固定看，研究某个位置如何运动；固定看，研究这一时刻弦的形状。偏导数与正是这两种不同变化率。

含未知多元函数及其偏导数的关系式叫偏微分方程。常微分方程中的未知量通常依赖一个自变量；这里多个自变量使解的自由度更大，不能只靠几个常数描述所有可能状态。

例如中的是时间，是空间；中都是空间。判断需要什么初始条件时，要看时间导数阶数，不能只看整个方程最高阶。

1.1 · 教材205—209页

02 阶数线性齐次：三个问题分开判断

阶数是出现的最高阶偏导数。是一阶方程；是三阶方程，原书用它说明并非只研究二阶模型。

线性要求未知函数及其导数以一次线性组合出现，系数只能依赖已知自变量。例如

是线性方程；、、则使它非线性。变量系数不等于非线性，常系数也不自动保证线性。

对线性方程，把全部含的项放在左边，写成。若，称齐次；否则非齐次。虽有本身，仍是齐次。齐次性不是“式子里有没有常数系数”。

1.1 · 教材205—209页

03 拉普拉斯算子：把空间方向的二阶导数相加

常用记号为

下标表示空间维数，不把时间算进去。三维波动方程有四个自变量，但空间拉普拉斯仍是。

教材给出一般二阶线性常系数算子

这里可通过合并混合导数实现。第一轮不必背全部下标；需要理解“线性算子”就是把求导、乘已知系数、相加打包成一个符号。后面叠加原理靠的就是。

1.1 · 教材205—209页

04 什么叫一个解：代入以后在指定区域内成立

给定函数能满足方程，就称它是一个解。必须同时说明区域和光滑性，奇点处不能默认也满足。

三维中，为到某个固定点的距离，在满足；在源点无定义。二维也在调和。把源点偷偷包括进去，会把物理点源与无源区混为一谈。

原书例1设代入二维拉普拉斯方程：

所以条件为。若都限为实数，只能；要得到非平凡的纯指数形式，通常允许其中一个参数为虚数。再取实部、虚部，可以得到

这些都是真实的调和函数。不要同时说“是实数”又未经解释写。

1.1 · 教材205—209页

05 积分常数变成任意函数：原书例2

对，因为求导时固定，积分得

“常数”只是不依赖被积分变量，仍可任意依赖。原书的先变成，所以，再积分得到

每次积分都要保留其他变量的自由函数。这类题比复杂方程更适合检查是否理解偏导数。

任意函数的数目与方程阶数有联系，但不能把“一阶一个、二阶两个”当成所有PDE、所有区域的无条件定理。这里它解释几个可直接积分的例子，具体模型还要结合条件。

1.1 · 教材205—209页

06 波动方程的两个行波：原书例3

对，，令

链式法则给出

展开平方，，所以方程变成。由上一段积分，

是向右的行波，因为保持同一特征值时，随时间增大；向左。负号对应右行，是解出波峰位置的结果，不是靠箭头记忆。

1.2 · 教材209—212页

07 三个典型方程究竟在描述什么

原书热方程也常把系数写成。本讲义用表示热扩散率，避免把它和波速混在一起；遇到教材时，直接对应。

量纲也不同： 波速的单位是长度/时间，扩散率的单位是长度平方/时间。形式里都有二阶空间导数，不表示物理传播方式相同。

稳定状态令；对真正不随时间变化的函数，也有。注意仅在某一个时刻并不代表过程已稳定，振动到最高点时速度也可暂时为0。

1.2 · 教材209—212页

08 建模前的假设，哪些会在题目中改变方程

理想弦模型忽略弯曲刚度，只考虑张力沿切线作用。取为横向位移，假设纵向位移可忽略，且小斜率，这样弧长约为水平长度，张力的横向分量可线性化。

“小振动”不仅指位移绝对值小，还要斜率小。高频、短波长形状即使振幅不大，也可能斜率很陡。

原书线密度写；这里临时写，明确它的单位是质量/长度，和热学的体密度区分。外力密度单位是力/长度。

如果题目增加阻力、弹性支撑或变密度，要回到力的平衡式改项；不能只背最简的。

1.2 · 教材209—212页

09 微元受力：两端张力的差产生曲率项

取区间。张力水平分量近似为同一个常数；左右端竖直分量相减，净力约为

加上分布外力，牛顿第二定律为

约去，得到

原书更细地把张力分成水平、竖直分量，先从水平平衡说明水平分量不依赖，再用小斜率和近似不伸长把它当常数。第一轮要会“净力差＋外力＝质量×加速度”的主线，不必背每个向量符号。

1.2 · 教材209—212页

10 均匀弦波速与常见附加项

均匀弦为常数，

张力增大，波速增大；线密度增大，波速减小。时叫自由振动，时叫受迫振动；是否有初始形变，是另一件事。

若单位长度阻力为，则

若还受到单位长度回复力，左边再加。符号可以从“阻力反向于速度、回复力反向于位移”检查。

若张力为已知变量，净力形式应保留，通常不能直接写成。本书最简模型中的常系数来自假设，不是普遍规律。

1.3 · 教材212—215页

11 傅里叶定律：负号把热流指向低温

令为温度，热流密度向量为

沿单位法向向外流出的热量密度为。温度梯度指向升温方向，热流沿相反方向。

例如一维表示左热右冷，，热向右流。负号不是装饰，边界条件的符号也由它决定。

注意为导热系数，不是热扩散率；热扩散率还要除以体积热容量。

1.3 · 教材212—215页

12 热平衡：净流入加热源，等于储热增加

取体积微元。沿方向的净流入约为，另两个方向同理。若体积热源密度为，产生热量。

温度变化储存的热量为。守恒给出

常量假设下是这个形式；若随位置变化，应写，不能漏掉系数梯度产生的项。

原书用长方体的六个面逐一相减，是对散度形式的具体展开。讲这段的用途是帮你给源项除对系数，并判断正热源应使温度上升；第一轮会重建守恒等式即可。

1.3 · 教材212—215页

13 一维杆不等于热量只能存在于一根数学直线上

均匀细杆沿放置，若每个横截面内温度近似相同，侧表面绝热，便可令，得到

如果截面积为常数，它在传热量、热源总量与储热量中都出现，最后约掉。若截面积变化，则应保留

若侧表面向环境温度散热，单位长度散热量为，其中为截面周长，则再加损失项。只有“侧表面绝热”时才能把它省掉。

这段会直接用在建模题。题目说的“均匀、细杆、侧面绝热、无热源”分别对应不同简化，不应把四句话都当背景略过。

1.3 · 教材212—215页

14 扩散方程：把热量换成物质守恒

浓度的物质通量服从菲克定律。无源时守恒为，所以

常数时就是。有生成或消耗过程时再加相应源项。

和热传导的共同结构是“通量沿梯度反向＋局部守恒”，因此同一套解法可以用于温度、浓度等不同物理量。第一轮不必另背一套扩散推导。

1.3 · 教材212—215页

15 稳态泊松方程与高斯形状的扩散

热平衡若进入稳态，，则

无热源才是；有源的稳态仍可不是调和函数。泊松右端的负号来自把源项移到另一边。

一维热方程的基本高斯核为

随时间增大，峰降低、宽度增大，而全直线积分保持1。这个图帮助区分扩散与不变形行波。原书习题3要求验证一个与它相差常数因子的高斯解；本章先认识、会验证，卷积求一般初值的系统方法以后再学。

1.4 · 教材215—217页

16 静电势为什么满足泊松方程

均匀介质中，设电荷体密度为，介电常数。静电方程为

局部无旋，或在合适的单连通区域，可以写。代入散度式，

无电荷区才有。如果介电常数随位置变化，应保留。

与前面复势约定区分： 这里是实数电势，不需要再讨论取复函数实部或虚部。等价的二维调和函数方法可以接上前面复变部分，但三维通常不能直接用一个复变解析函数表示。

1.4 · 教材215—217页

17 自由电磁场：为什么既能出现波动，也能出现扩散近似

常介质参数下，麦克斯韦方程组给出

对第一式再取旋度，用，得到

每个分量都满足相应标量方程，磁场也有同样结构。若导电项可忽略，得到波动方程，波速。

若在所研究时间尺度上位移电流相对传导电流很小，则可忽略对应的高阶时间项，得到扩散型近似。对典型角频率，比较条件是；只把不同量纲的与直接比大小不够。

这段的用途是说明同一种数学模型会跨物理领域出现。第一轮会认最终方程、参数与近似条件即可；若不考电磁建模，完整向量恒等式的推导可第二轮细读。

1.5 · 教材217—222页

18 泛定方程加条件，才是一个具体问题

偏微分方程刻画一般规律，本书也叫泛定方程。许多函数能满足同一方程；再给出初始、边界等条件，才构成定解问题。

无界全空间的初值问题通常没有有限位置的边界；有限区间还要约束端点。空间区域必须写清，不能只写一个PDE和几个零。

对波动方程，需要位移和速度两条初值；对热方程，通常只给温度。

热方程的初始时间导数不是可随便再加的独立数据： 若要求足够光滑，方程已决定。

1.5 · 教材217—222页

19 三类边界条件，按“给的是哪种量”判断

用外单位法向，

统一描述线性边界条件。

齐次边界条件指规范写法的右端为0。温度固定为100是第一类非齐次，不因它“不随时间变化”就成为齐次。

空间边界的不同部分可以采用不同类型。“混合问题”在本章主要指同时有初始与边界条件，也可能遇到边界类型混用；阅读题目时直接写清各处条件，不依赖一个词猜含义。

1.5 · 教材217—222页

20 外法向导数：左端负，右端正

区间，左端朝外是负向，右端朝外是正向，所以

给定向外热流密度时，

若题目说左右端分别以正热流密度流入，向外通量分别为，故

同样叫“向内输入正热量”，左右端写出的符号相反。 先画外法向，再写，比背左右符号可靠。

1.5 · 教材217—222页

21 牛顿冷却定律怎样变成第三类条件

边界温度与环境温度不同时，向外热流为。与傅里叶定律合并：

左端为

右端为。如果某端绝热，条件是该端，而不是；绝热端仍可以很热。

看物理方向检验：若杆端比环境热，，必须有。正负号不符合时，先查外法向的选取。

1.5 · 教材217—222页

22 原书槽形导体与无限长条的例题

长方体内部无电荷，区域。侧面和底面接地，顶盖电势为，则

再补四个侧面与上。顶盖与接地侧面接缝绝缘；若边缘给值不一致，可按各开面边界极限理解，不能强求同一点同时等于两个不同数。

如果导体沿无限长，几何和边界数据均与无关，选取有界、物理上相容的平移不变解，就能降为二维矩形域：

面给，另外三边给0。只说“很长”还不足以在所有位置忽略端部，要结合离端部足够远的近似或无限长理想化。

1.5 · 教材217—222页

23 原书细杆混合问题：把每一句话用到

长为、均匀细杆，侧面绝热，内部热源密度，初温；左端与温度的介质交换热量，右端绝热。完整问题是

依次检查：体内有没有源；侧面是否漏热；初温是否给定；左右端各是什么边界；左端法向负号是否保留。

若要求一直光滑到的角点，初温还应与边界在初始时刻相容。例如、。实际突变加热时可能没有这种高光滑性，仍可在讨论较弱意义的解。

1.6 · 教材223—225页上部

24 固定自由弹性端：都从端点受力判断

固定端是或；按已知规律运动则给，属于第一类条件。

若端点可沿竖直方向在无摩擦导轨滑动，且无外部横向力，端点横向张力应为0，小斜率下得。这是本书自由端模型，不是“端点可以任意脱离导轨运动”的另一种物理问题。

若左端受向上外力，左端平衡为；右端受向上外力，平衡为。因此

再加端点弹簧回复力，可统一写成

左端是，右端是。理解了外法向，弹性端与热交换边界在数学上都是Robin结构。

1.6 · 教材223—225页上部

25 适定性：存在唯一稳定，一个都不能少

“存在”指条件能够同时满足；“唯一”指不会有两个不同解满足同一组条件；“稳定”指数据小变化只造成适当意义下的小变化。

给少条件可能不唯一，例如全直线波动方程只给，仍可以任意选初速度。给矛盾条件可能不存在，例如同时要求某边界点在同一时刻温度0和1。

稳定性不是说解永远不增长，而是说在选定时间范围与范数下依赖数据连续。对达朗贝尔公式，在，

其中范数取相关区域，数据应覆盖影响到的初始区间。这一行也直接支持后面的广义解近似。

第一轮掌握程度： 会说明三条各是什么意思、会检查明显缺失和冲突；不要求在这一章证明所有边值问题的适定性。纯Neumann的拉普拉斯问题还可能差一个常数，需要额外归一化；不能仅凭“边界数据写满了”就宣称唯一。

1.7 · 教材225—228页

26 从两个任意函数，解出给定初值

全直线齐次波动初值问题为、、。先写

在代入：

第二式积分后与第一式联立，可解出；两个积分常数在它们相加时抵消。最终

这就是达朗贝尔公式。第一项来自初位移，第二项来自初速度；不必每题重做求，但应能从这两条初值方程推回公式。

1.7 · 教材225—228页

27 公式怎么用：先分位移和速度两项

例：，。位移项是